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(2012•郑州模拟)如图,线段AB=8cm,点C是AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形(△AMC和△CNB),则当BC=
4
4
cm时,两个等腰直角三角形的面积和最小.
分析:作MD⊥AC,NE⊥BC,设AC=xcm,则BC=(8-x)cm,将两三角形面积之和表示为S=
1
2
•x•
1
2
x+
1
2
•(8-x)•
1
2
(8-x),转化为二次函数的最值问题解答.
解答:解:作MD⊥AC,NE⊥BC,
∵△AMC和△CNB是等腰直角三角形,
∴DC=MD,EB=NE,
∴设AC=xcm,则BC=(8-x)cm,
∴两三角形面积之和为S=
1
2
•x•
1
2
x+
1
2
•(8-x)•
1
2
(8-x)
=
1
4
x2+
1
4
(64+x2-16x)
=
1
4
x2+16+
1
4
x2-4x
=
1
2
x2-4x+16
当AC=-
-4
1
2
=4,
即BC=8-4=4cm时,两个等腰三角形的面积最小.
点评:本题考查了等腰直角三角形和二次函数的最值,将三角形的面积问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键.
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64
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4
9
4
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