Question

如图，在△ABC中，∠BAC=108゜，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，求证：BC=CD+AB．（用两种方法）

Answer 1

分析：法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连DE，由BD为角平分线，得到一对角相等，再由AB=EB，BD为公共边，利用SAS得出三角形ABD与三角形EBD全等，由全等三角形的对应边相等得到AB=EB，对应角相等得到∠BAC=∠BED=108°，利用邻补角定义及内角和定理求出∠CDE=∠CED=72°，利用等角对等边得到CD=CE，由BC=BE+EC，等量代换即可得证；
法2：：（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连DE，由BD为角平分线，得到一对角相等，再由CB=EB，BD为公共边，利用SAS得出三角形CBD与三角形EBD全等，利用全等三角形的对应边等，对应角相等得到ED=CD，∠E=∠C=36°，利用邻补角定义及内角和定理求出∠ADE=∠DAE=72°，利用等角对等边得到EA=ED，等量代换得到AE=DC，由BC=BE=BA+AE，等量代换即可得证．

解答：解：法1：（截长法）在BC上取点E使BE=BA，连DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，

AB=EB ∠ABD=∠EBD BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BAC=∠BED=108°，AB=EB，
∴∠DEC=72゜，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDE=∠CED=72°，
∴CD=CE，
则BC=BE+EC=AB+CD；
法2：（补短法）延长BA至E，使BE=BC，连DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△EBD和△CBD中，

EB=CB ∠ABD=∠CBD BD=BD

，
∴△EBD≌△CBD（SAS），
∴DE=DC，∠E=∠C=36°，
∵∠EAD=72°，
∴∠EDA=∠EAD=72°，
∴EA=ED，
∴CD=DE=AE，
则BC=BE=AB+AE=AB+CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．