Question

11．如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得C（0，-4），设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），将点C的坐标代入可求得a的值；
（2）先求得直线BD的解析式，题意可知点M、Q的坐标分别是（m，-$\frac{1}{2}$m+4），（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4），当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形，从而可得关于m的方程，于是可求得m的值，然后得到点M的坐标，最后依据CQ=MB，MB∥CQ，可证明四边形CQBM为平行四边形；
（3）求得直线QB的一次项系数为$\frac{1}{4}$（m+2）、QD的解析式的一次项系数为$\frac{{m}^{2}-6m-32}{4m}$，然后依据相互垂直的直线的一次项系数乘积是-1列方程求解即可．

解答 解：（1）把x=0代入得：y=-4．
∴C（0，-4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），将点C的坐标代入得：-16a=-4，解得：a=$\frac{1}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-8）即y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4．

（2）由菱形的对称性可知：点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：8k+4=0，解得：k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M、Q的坐标分别是（m，-$\frac{1}{2}$m+4），（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）．
当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．
∴（-$\frac{1}{2}$m+4）-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）=8，化简得：m²-4m=0，解得m=4或m=0（舍去）．
此时，四边形CQBM是平行四边形．
∵四边形CQBM为平行四边形，
∴MD∥CQ，MD=CQ．
∵m=4时，M的坐标为（4，2），
∴M为BD的中点，
∴MD=MB．
∴CQ=MB，
又∵MB∥CQ，
∴四边形CQBM为平行四边形．

（3）设QB的解析式为y=k₁x+b₁，将点B和点Q的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{m{k}_{1}+{b}_{1}=\frac{1}{4}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-4}\end{array}\right.$，
解得：k₁=$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-4}{m-8}$=$\frac{1}{4}$（m+2）．
设QD的解析式为y=k₂x+4，将点Q的坐标代入得mk₂+4=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4，
解得：k₂=$\frac{{m}^{2}-6m-32}{4m}$．
当∠QBD=90°时，-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$（m+2）=-1，解得：m=6．
∴Q（6，-4）．
当∠QDB=90°时，-$\frac{1}{2}$×$\frac{{m}^{2}-6m-32}{4m}$=-1，整理得：m²-14m-32=0，解得m=-2或m=16（舍去）．
∴Q（-2，0）．
以M为圆心以MB为半径作⊙M，⊙M与抛物线没有公共点，
∴∠DQB≠90°．
综上所述，点Q的坐标为（6，-4）或（-2，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题只要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、平行四边形的性质和判定，掌握相互垂直的直线的一次项系数乘积是-1是解题的关键．