Question

如图是二次函数y=（x+2）²的图象，顶点为A，与y轴的交点为B．
（1）求经过A、B两点的直线的函数关系式；
（2）若⊙M的圆心为M（m，0），半径为r，过A向该圆作切线，切点为N．请求出所有能使△AMN与△ABO全等的m、r的值；
（3）请在第二象限中的抛物线上找一点C，使△ABC的面积与△ABO的面积相等．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可得出A、B两点的坐标，然后用待定系数法即可求出过A、B两点的直线的解析式．
（2）由于AN与⊙M相切，且切点为N，要想使△AMN≌△ABO，两直角三角形的斜边必相等，因此|AM|=|AB|，由此可得出M点的坐标以及半径的长．
（3）可设存在这样的C点，过C作CD⊥x轴于D，可根据抛物线的解析式设出C点的坐标，进而可表示出CD、OD的长，然后可根据梯形OBCD的面积=△ACD的面积+△ABC的面积+△AOB的面积，由于△ABC的面积与△ABO的面积相等，因此等量关系可列成：
梯形OBCD的面积=△ACD的面积+2倍的△ABO的面积，由此可求出C点的坐标．

解答：解：（1）A（-2，0），B（0，4）
设过A、B的直线的函数关系式为y=kx+b
有

0=-2k+b 4=b

，
解得：

b=4 k=2

，
∴函数关系式为：y=2x+4．

（2）要使△AMN与△ABO全等，
|AM|=|AB|=

22+42

=2

5

即|m+2|=2

5

，
∴m=2

5

-2或m=-2

5

-2
∴r=2或4．
故有四组解：

m1=2 5 -2 r1=2

，

m2=2 5 -2 r2=4

m3=-2 5 -2 r3=2

，

m4=-2 5 -2 r4=4

（3）过C作CD⊥x轴于D点，
令C（a，b），有b=（a+2）²
∴|CD|=b，|BO|=4，|DO|=-a，|DA|=-2-a，|OA|=2
S_△ABC=S_梯形CDOB-S_△CDA-S_△AOB
=（b+4）（-

a

2

）-

1

2

（-2-a）b-4
而S_△ABC=S_△AOB=4
因此原式可化简为：-2a+b-8=0
∴（a+2）²-2a-8=0
a₁=-1+

5

（不合题意舍去）a₂=-1-

5

∴C（-1-

5

，6-2

5

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形全等、二次函数的应用等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．