Question

14．△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．
Ⅰ．证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ．探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．
小聪和小明各给出了一种想法：
（1）小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）．
（2）小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图2作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于点F；
③过点F作FE∥F′E′交BC于点E，FG∥F′G′交AB于点G，GD∥G′D′交BC于点D，则四边形DEFG即为所求的正方形．你认为小明的作法正确吗？说明理由．

Answer 1

分析 Ⅰ、根据正方形的性质可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等边三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了；
Ⅱ（1）设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，可以求出AH的长，然后根据△AGF∽△ABC利用其对应边成比例可以列出关于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形边长；
（2）首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行线可以得到比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方了．

解答 Ⅰ证明：∵四边形DEFG为正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
在△BDG和△CEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GDB=∠FEC}\\{∠B=∠C}\\{GD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CEF（AAS）；

Ⅱ解：（1）设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
∵△ABC等边三角形，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴AH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}-x}{\sqrt{3}}$，
解之得：x=4$\sqrt{3}$-6，

（2）正确，
由已知可知，四边形GDEF为矩形，
∵FE∥F′E′，
∴△BE′F′∽△BEF，
∴$\frac{FE}{F′E′}$=$\frac{FB}{F′B′}$
同理$\frac{FG}{F′G′}$=$\frac{FB}{F′B′}$
∴$\frac{FE}{F′E′}$=$\frac{FG}{F′G′}$
又∵F′E′=F′G′，
∴FE=FG
∴矩形GDEF为正方形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．