Question

将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD．
（1）求证：DB∥CF；
（2）当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求弧

EF

的长度．

Answer 1

分析：（1）根据切线性质得出∠OFB=90°，推出OF∥BC，OF=BC，得出平行四边形OFCB，根据平行四边形性质推出即可．
（2）分为两种情况，根据弧长公式求出即可．

解答：（1）证明：∵这样放置，BA和半圆只有一个交点F，
∴AB是半圆的切线，
即OF⊥AB，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC=90°，
∴OF∥BC，
∵BC=OD，OF=OD，
∴OF=BC，
∴四边形OFCB是平行四边形，
∴OB∥CF，
即DB∥CF．

（2）解：∵△ABC和△OFB相似，
∴分为两种情况：①当∠FOB=∠A=30°时，弧

EF

的长度是

30π•2

180

=

π

3

；
②当∠FOB=∠ACB=60°时，弧

EF

的长度是

60π•2

180

=

2π

3

；
即弧

EF

的长度是

π

3

或

2π

3

．

点评：本题考查了相似三角形的性质，弧长公式，切线的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力．