分析 (1)由同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC,再由已知∠ODB=∠AEC,等量代换得到∠ABC=∠ODB,在直角三角形BDF中,利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余,等量代换得到∠OBD为直角,即可得到BD是圆O的切线;
(2)证明△CEF∽△ABF,得出对应边成比例求出CE,由勾股定理求出BE和AE,得出AF,求出CF,得出BC的长,由垂径定理得出BH的长.
解答 解:(1)BD是⊙O的切线;理由如下:
∵∠AEC与∠ABC都对$\widehat{AC}$,
∴∠AEC=∠ABC,
∵∠ODB=∠AEC,
∴∠ABC=∠ODB,
在Rt△BDF中,∠ODB+∠DBF=90°,
∴∠ABC+∠DBF=90°,即∠OBD=90°,
∴BD⊥OB,
∴BD是⊙O的切线;
(2)∵∠A=∠C,∠ABF=∠CEF,
∴△CEF∽△ABF,
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{EF}{BF}$=$\frac{CF}{AF}$,即$\frac{CE}{10}=\frac{\frac{11}{3}}{2\sqrt{11}}$,
解得:CE=$\frac{5}{3}\sqrt{11}$;
连接BE,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{5}{3}\sqrt{11}$,
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{25}{3}$,
∴AF=AE-EF=$\frac{25}{3}$-$\frac{11}{3}$=$\frac{14}{3}$,
∴$\frac{CF}{\frac{14}{3}}$=$\frac{\frac{11}{3}}{2\sqrt{11}}$,
解得:CF=$\frac{7\sqrt{11}}{9}$,
∴BC=BF+CF=$\frac{25\sqrt{11}}{9}$,
∵OE⊥BC,
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{25\sqrt{11}}{18}$.
点评 此题考查了切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识;本题综合性强,有一定难度.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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