【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴交于A,B,C三点,点A的横坐标为﹣1,过点C(0,3)的直线y=﹣x+3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)确定b,c的值;
(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)b=,c=3;
(2)B(4,0),P(4﹣4t,3t),Q(4t,0);
(3)当t=或或时,△PQB为等腰三角形.
【解析】
试题(1)将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值.
(2)根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标.Q点的坐标,可直接由直线CQ的解析式求得.
(3)本题要分情况讨论:
①PQ=PB,此时BH=QH=BQ,在(2)中已经求得了BH的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得,据此可求出t的值.
②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值.
③PQ=BQ,已经求得了BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值.
试题解析:(1)已知抛物线过A(﹣1,0)、C(0,3),则有:
,
解得,
因此b=,c=3;
(2)令抛物线的解析式中y=0,则有﹣x2+x+3=0,
解得x=﹣1,x=4;
∴B(4,0),OB=4,
因此BC=5,
在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,
∴sin∠CBO=,cos∠CBO=,
在直角三角形BHP中,BP=5t,
因此PH=3t,BH=4t;
∴OH=OB﹣BH=4﹣4t,
因此P(4﹣4t,3t).
令直线的解析式中y=0,则有0=﹣x+3,x=4t,
∴Q(4t,0);
(3)存在t的值,有以下三种情况
①如图1,当PQ=PB时,
∵PH⊥OB,则QH=HB,
∴4﹣4t﹣4t=4t,
∴t=,
②当PB=QB得4﹣4t=5t,
∴t=,
③当PQ=QB时,在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2,
∴(8t﹣4)2+(3t)2=(4﹣4t)2,
∴57t2﹣32t=0,
∴t=,t=0(舍去),
又∵0<t<1,
∴当t=或或时,△PQB为等腰三角形.
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【题目】某市为了处理污水需要铺设一条长为2000米的管道,实际施工时,×××××××,设原计划每天铺设管道米,则可列方程,根据此情景,题目中的“×××××××”表示所丢失的条件,这一条件为( )
A.每天比原计划多铺设10米,结果延期10天完成任务
B.每天比原计划少铺设10米,结果延期10天完成任务
C.每天比原计划少铺设10米,结果提前10天完成任务
D.每天比原计划多铺设10米,结果提前10天完成任务
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【题目】如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,,AC为直径,DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:CD平分∠ACE;
(2)若AC=9,CE=3,求CD的长.
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【题目】阅读下列材料,解决问题:
学习了勾股定理后我们知道:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.根据勾股定理我们定义:如图①,点M、N是线段AB上两点,如果线段AM、MN、NB能构成直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股点
解决问题
(1)在图①中,如果AM=2,MN=3,则NB= .
(2)如图②,已知点C是线段AB上一定点(AC<BC),在线段AB上求作一点D,使得C、D是线段AB的勾股点.李玉同学是这样做的:过点C作直线GH⊥AB,在GH上截取CE=AC,连接BE,作BE的垂直平分线交AB于点D,则C、D是线段AB的勾股点你认为李玉同学的做法对吗?请说明理由
(3)如图③,DE是△ABC的中位线,M、N是AB边的勾股点(AM<MN<NB),连接CM、CN分别交DE于点G、H求证:G、H是线段DE的勾股点.
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【题目】不透明布袋内装有形状、大小、质地完全相同的4个小球,分别标有数字1,2,3,4.
(1)从布袋中随机地取出一个小球,求小球上所标的数字不为2的概率;
(2)从布袋中随机地取出一个小球,记录小球上所标的数字为x,不将取出的小球放回布袋,再随机地取出一个小球,记录小球上所标的数字为y,这样就确定点E的一个坐标为(x,y),求点E落在直线y=x+1上的概率.
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【题目】(1)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,请探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系是什么?
小明探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE≌△ADG,得AE=AG;再由条件可得∠EAF=∠GAF,证明△AEF≌△AGF,进而可得线段BE,EF,FD之间的数量关系是 .
(2)拓展应用:
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD.问(1)中的线段BE,EF,FD之间的数量关系是否还成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】某专卖店经市场调查得知,一种商品的月销售量 Q(单位:吨)与销售价格 x(单位:万元/吨)的关系可用下图中的折线表示.
(1)写出月销售量 Q 关于销售价格 x 的关系;
(2)如果该商品的进价为 5 万元/吨,除去进货成本外,专卖店销售该商品每月的固定成本为 10 万元,问该商品 每吨定价多少万元时,销售该商品的月利润最大?并求月利润的最大值.
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【题目】某专卖店经市场调查得知,一种商品的月销售量 Q(单位:吨)与销售价格 x(单位:万元/吨)的关系可用下图中的折线表示.
(1)写出月销售量 Q 关于销售价格 x 的关系;
(2)如果该商品的进价为 5 万元/吨,除去进货成本外,专卖店销售该商品每月的固定成本为 10 万元,问该商品 每吨定价多少万元时,销售该商品的月利润最大?并求月利润的最大值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE交AB于点F,⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C,连接AE.
(1)试判断∠AED与∠C的数量关系,并说明理由;
(2)若AD=3,∠C=60°,点E是半圆AB的中点,则线段AE的长为 .
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