如图.在矩形ABCD中.AD=10.E为AB上一点.且AE=$\frac{1}{4}$AB=a.连结DE.F是DE中点.连结BF.以BF为直径作⊙O．(1)用a的代数式表示DE2=a2+100.BF2=$\frac{49{a}^{2}+100}{4}$,(2)求证:⊙O必过BC的中点,(3)若⊙O与矩形ABCD各边所在的直线相切时.求a的值,(4)作A关于直线BF的对称点A′.若A′落在矩� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图，在矩形ABCD中，AD=10，E为AB上一点，且AE=$\frac{1}{4}$AB=a，连结DE，F是DE中点，连结BF，以BF为直径作⊙O．
（1）用a的代数式表示DE²=a²+100，BF²=$\frac{49{a}^{2}+100}{4}$；
（2）求证：⊙O必过BC的中点；
（3）若⊙O与矩形ABCD各边所在的直线相切时，求a的值；
（4）作A关于直线BF的对称点A′，若A′落在矩形ABCD内部（不包括边界），则a的取值范围$\frac{10}{7}$＜a＜$\frac{10}{7}\sqrt{7}$．（直接写出答案）

分析（1）如图1，根据勾股定理得：ED²=AE²+AD²=a²+10²=a²+100，在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF²=BG²+GF²，代入可得结果；
（2）如图1，证明四边形BGFH是矩形，得BH=GF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，所以⊙O必过BC的中点；
（3）因为⊙O不可能与边AB和BC相切，所以分两种情况：
①如图2，当⊙O与边CD相切时，根据Rt△ONF中，ON²+NF²=OF²=OM²，列式$（\frac{5}{2}）^{2}$+（$\frac{7}{4}a$）²=$（\frac{15}{2}）^{2}$，求a的值；
②如图3，当⊙O与边AD相切时，设切点为Q，根据：$B{F}^{2}=25+\frac{49}{4}{a}^{2}$ 且BF=2OQ，列式可得结论；
（4）分别计算当a最小和最大时，即A′在边BC上和边CD上，作辅助线，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，由线段垂直平分线的性质列式可得结论．

解答解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△AED中，AE=a，AD=10，
由勾股定理得：ED²=AE²+AD²=a²+10²=a²+100，
设⊙O交AB于G，连接FG，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BGF=90°，
∵∠A=90°，
∴∠BGF=∠A，
∴FG∥AD，
∵F是ED的中点，
∴GF=$\frac{1}{2}$AD=5，EG=AG=$\frac{1}{2}$a，
∵AE=$\frac{1}{4}$AB=a，
∴AB=4a，
∴BG=4a-$\frac{1}{2}$a=$\frac{7}{2}$a，
由勾股定理得：BF²=BG²+GF²，
∴BF²=$（\frac{7}{2}a）^{2}$+5²=$\frac{49}{4}{a}^{2}$+25=$\frac{49{a}^{2}+100}{4}$，
故答案为：a²+100；$\frac{49{a}^{2}+100}{4}$；
（2）如图1，设⊙O交BC于H，连接FH，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BHF=90°，
∴∠ABC=∠BHF=∠AGF=90°，
∴四边形BGFH是矩形，
∴BH=GF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴H是BC的中点，
即：⊙O必过BC的中点；
（3）分两种情况：
①如图2，当⊙O与边CD相切时，设切点为M，连接OM、FH交于N，则OM⊥CD，
∴OM=ON+MN=$\frac{5}{2}$+5=$\frac{15}{2}$，
∵OM⊥FH，
∴NF=$\frac{1}{2}$FH=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}\\;a$=$\frac{7}{4}$a，
Rt△ONF中，ON²+NF²=OF²=OM²，
∴$（\frac{5}{2}）^{2}$+（$\frac{7}{4}a$）²=$（\frac{15}{2}）^{2}$，
a=$±\frac{20}{7}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{20}{7}$，
②如图3，当⊙O与边AD相切时，设切点为Q，
连接OQ，则OQ⊥AD，连接FG，交OQ于P，
∴OQ=OP+PQ=$\frac{1}{2}$BG+AG=$\frac{7}{4}a$+$\frac{1}{2}a$=$\frac{9}{4}$a，
由（1）知：$B{F}^{2}=25+\frac{49}{4}{a}^{2}$ 且BF=2OQ，
∴25+$\frac{49}{4}\\;{a}^{2}$a²=（2×$\frac{9}{4}$a）²，
a=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
综上所述，若⊙O与矩形ABCD各边所在的直线相切时，a的值为$\frac{20}{7}$或$\frac{5\sqrt{2}}{4}$；
（4）如图4，当A的对称点A′恰好在边BD上时，连接AA′交BF于H，连接AF、A′F，过F作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，则MN⊥AD，
∵A关于直线BF的对称点A′，
∴BF是AA′的垂直平分线，
∴AF=A′F，AB=A′B=4a，
由（1）（2）得：FN=$\frac{1}{2}$a，FM=$\frac{7}{2}$a，A′M=4a-5，AN=5，
由勾股定理得：${5}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}$=（4a-5）²+$（\frac{7}{2}a）^{2}$，
解得：a₁=0（舍），a₂=$\frac{10}{7}$，
∴当a＜$\frac{10}{7}$时，A′落在矩形ABCD外部（包括边界），
如图5，当A′落在边CD上时，连接AA′、A′B，过F作MG⊥AB，则MG⊥CD，
设射线BF交AD于N，
易得A′G=AM=DG=$\frac{1}{2}$a，A′C=3a，
∵BF是AA′的垂直平分线，
∴AB=A′B，
则（4a）²=10²+（3a）²，
a=$\frac{10}{7}\sqrt{7}$，
∴a的取值范围是：$\frac{10}{7}$＜a＜$\frac{10}{7}\sqrt{7}$，
故答案为：$\frac{10}{7}$＜a＜$\frac{10}{7}\sqrt{7}$．

点评本题是圆和四边形的综合题，考查了三角形中位线定理、线段垂直平分线性质、对称的性质、勾股定理、矩形的性质，第三问和第四问中采用分类讨论的思想，注意不要丢解，第四问有难度，准确画出图形是关键．

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