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    把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
    （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=______；
    （2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；
    （3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）

    【答案】分析：（1）可通过证△APD∽△CDQ来求解．
    （2）不会改变，关键是还是证△APD∽△CDQ，已知了一组45°角，关键是证（1）中的∠APD=∠QDC，由于图2由图1旋转而得，根据旋转的性质可设旋转角为α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此两角相等．由此可证得两三角形相似．因此结论不变．
    （3）本题分类两种情况进行讨论：①当0°＜α＜45°时②当45°≤α＜90°时．
    解答：解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
    ∴△APD∽△CDQ．
    ∴AP：CD=AD：CQ．
    ∴即AP×CQ=AD×CD，
    ∵AB=BC=4，
    ∴斜边中点为O，
    ∴AP=PD=2，
    ∴AP×CQ=2×4=8；
    故答案为：8．

    （2）AP•CQ的值不会改变．
    理由如下：
    ∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
    ∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α，
    ∠CDQ=90°-α，
    ∴∠APD=∠CDQ．
    ∴△APD∽△CDQ．
    ∴．
    ∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（AC）2=8．

    （3）情形1：当0°＜α＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
    此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
    ∴DG=DN=2
    由（2）知：AP•CQ=8得AP=
    于是y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG
    =8-x-（2＜x＜4）
    情形2：当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，
    由于AP=，PB=-4，易证：△PBM∽△DNM，
    ∴即解得．
    ∴MQ=4-BM-CQ=4-x-．
    于是y=MQ•DN=4-x-（0＜x≤2）．
    综上所述，当2＜x＜4时，y=8-x-．
    当0＜x≤2时，y=4-x-（或y=）．
    点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数等知识的综合应用．
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