Question

18．正方形的边长为a，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积．

Answer 1

分析 连接OC、OD、OA、OB，求出正方形的中心角，根据勾股定理求出OC，根据正切的概念求出AC，得到AB，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：连接OC、OD、OA、OB，
∵正方形是圆内接正方形，
∴∠COD=90°，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴AC=$\sqrt{3}$OC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴AB=$\sqrt{6}$a，
△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×AB×OC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
∴外接圆的外切正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²．

点评 本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的求法、灵活运用锐角三角函数是解题的关键．