Question

【题目】如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点．若B在⊙O上运动一周：

（1）证明点P运动的路径是一个圆．

（思路引导：要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M、r．）

（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）≤PC≤

【解析】

（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，HP=OB=1，即可得出结论；
（2）连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，由等边三角形的性质得出PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，得出PC= AB，分别求出PC的最小值和最大值，即可得出答案．

（1）证明：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：

则HP是△ABO的中位线，HP=OB=1，
∵点O与点A是定点，
∴OA的中点H也是定点，
∴B在⊙O上运动，
则点P随之运动，但HP=OB=1不变，

∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，
∴PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，
∴PC=AB，
当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，
∵AM=OA-OM=5-2=3，
∴AP'=AM=，
∴PC=；
当点B运动到点N位置时，点P运动到点P'位置，PC最长，
∵AN=OA+ON=5+2=7，
∴AP'=，
∴PC= ；
∴PC长的取值范围是≤PC≤．