Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若AB=，BC=16．

（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8

【解析】

（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=，即可得出BE+CD=8．

解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，

∵点P和点Q同时出发，且速度相同，

∴BP=CQ，

∵PF∥AQ，

∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠PFB，

∴BP=PF，

∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，

∴DF=CD=CF，

又因P是AB的中点，PF∥AQ，

∴F是BC的中点，即FC=BC=8，

∴CD=CF=4；

（2）为定值．

如图②，点P在线段AB上，

过点P作PF∥AC交BC于F，

易知△PBF为等腰三角形，

∵PE⊥BF

∴BE=BF

∵易得△PFD≌△QCD

∴CD=

∴