如图1.一次函数y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A.与x轴交于点D.直线OA与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的另一支交于点C.过点B作直线l垂直于x轴.点E是点D关于直线l的对称点．(1)k=3,(2)判断点B.E.C是否在同一条直线上.并说明理由,(3)如图2.已知点F在x轴正半轴上.OF=$\frac{3}{2}$.点P是反� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如图1，一次函数y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．

（1）k=3；
（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；
（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF=$\frac{3}{2}$，点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．

分析（1）把A点坐标代入y=$\frac{k}{x}$中可求出k的值；
（2）先利用反比例函数的中心对称性得到C（-1，-3），再把B（m，1）代入y=$\frac{3}{x}$求出m得到B（3，1），通过确定直线AB的解析式得到D（4，0），接着利用对称性确定E（2，0），于是利用待定系数法看球出直线BC的解析式为y=x-2，然后判断点E是否直线BC上；
（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，先确定M（0，4），计算出BM=3$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{2}$，再证明△BMN∽△BEF，通过相似比计算出MN=$\frac{3}{2}$，从而得到N（0，$\frac{11}{2}$），则利用待定系数法得到直线BN的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{11}{2}$，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}}\end{array}\right.$得P点坐标．

解答解：（1）∵A（1，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=1×3=3；
（2）点B、E、C在同一条直线上．理由如下：
∵直线OA与反比例函数y=$\frac{3}{x}$（k≠0）的图象的另一支交于点C，
∴点A与点C关于原点对称，
∴C（-1，-3），
∵B（m，1）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，
∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1），
把A（1，3）代入y=-x+b得-1+b=3，解得b=4，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
当y=0时，-x+4=0，解得x=4，则D（4，0），
∵点E与点D关于直线x=3对称，
∴E（2，0），
设直线BC的解析式为y=px+q，
把B（3，1），C（-1，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3p+q=1}\\{-p+q=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=x-2，
当x=2时，y=x-2=0，
∴点E在直线BC上，
即点B、E、C在同一条直线上；
（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，
当x=0时，y=-x+4=4，则M（0，4），
而B（3，1），E（2，0），F（$\frac{3}{2}$，0），
∴BM=$\sqrt{{3}^{2}+（1-4）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，EF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵OM=OD=4，
∴△OMD为等腰直角三角形，
∴∠OMD=∠ODM=45°，
∵点E与点D关于直线x=3对称，
∴∠BED=∠BDE=45°，
∴∠BMN=∠BEF=135°，
∵∠ABP=∠EBF，
∴△BMN∽△BEF，
∴$\frac{MN}{EF}$=$\frac{BM}{BE}$，即$\frac{MN}{\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，解得MN=$\frac{3}{2}$，
∴N（0，$\frac{11}{2}$），
设直线BN的解析式为y=ax+n，
把B（3，1），N（0，$\frac{11}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3a+n=1}\\{n=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{n=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BN的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{11}{2}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{9}{2}$）．
故答案为3，$\frac{2}{3}$，$\frac{9}{2}$．

点评本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质；会利用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，能通过解方程求它们的交点坐标；会运用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．

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