【题目】下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.
已知:平面内一点A.
求作:∠A,使得∠A30°.
作法:如图,
(1)作射线AB;
(2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;
(3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.
∠DAB即为所求的角.
请回答:该尺规作图的依据是 .
【答案】三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;
或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余;
或:直径所对的圆周角为直角, , 为锐角, .
【解析】如图,连接OD、DC,根据题目的作图方法,可由以下三种方法说明所作∠A=30°:
(1)由作法可知,OA=OD=OC=DC,
∴△ODC是等边三角形,∠A=∠ADO,
∴∠DOC=60°,
又∵∠A是⊙O中所对的圆周角,∠DOC是⊙O中所对的圆心角,
∴∠A=∠DOC=30°;
(2)由作法可知,OD=OC=DC,AC是⊙O的直径,
∴△ODC是等边三角形,∠ADC=90°,
∴∠DCA=60°,
∴∠A=180°-90°-60°=30°;
(3)由作法可知,OA=OC=DC=⊙O的半径,AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴sinA=,
∴锐角∠A=30°.
综上所述:本题答案为:三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;
或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余;
或:直径所对的圆周角为直角, , 为锐角, .
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:(1)AD上任意一点到点C、D的距离相等;(2)AD上任意一点到AB、AC的距离相等;(3)AD⊥BC且BD=CD;(4)∠BDE=∠CDF,其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】(2017·达州)下列命题是真命题的是( )
A. 若一组数据是1,2,3,4,5,则它的方差是3
B. 若分式方程有增根,则它的增根是1
C. 对角线互相垂直的四边形,顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形
D. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,则这两个角相等
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C,且点A在边A′B′上,则旋转角的度数为( )
A. 65°B. 60°C. 50°D. 40°
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【题目】中,三个内角的平分线交于点.过点作,交边于点.
(1)如图1,
①若,则___________,_____________;
②猜想与的关系,并说明你的理由:
(2)如图2,作外角的平分线交的延长线于点.若,,求的度数.
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【题目】如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EFDE.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若 AD4,DE5,求DM的长.
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【题目】在△ABC中,∠A90°,ABAC.
(1)如图1,△ABC的角平分线BD,CE交于点Q,请判断“”是否正确:________(填“是”或“否”);
(2)点P是△ABC所在平面内的一点,连接PA,PB,且PB PA.
①如图2,点P在△ABC内,∠ABP30°,求∠PAB的大小;
②如图3,点P在△ABC外,连接PC,设∠APCα,∠BPCβ,用等式表示α,β之间的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EFDE.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若 AD4,DE5,求DM的长.
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【题目】如图所示,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,AC=20cm,P、Q是△ABC的边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为ts.
(1)则BC= cm;
(2)当t为何值时,点P在边AC的垂直平分线上?此时CQ= ;
(3)当点Q在边CA上运动时,直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
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