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【题目】下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.

已知:平面内一点A.

求作:∠A,使得∠A30°.

作法:如图,

(1)作射线AB;

(2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;

(3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.

∠DAB即为所求的角.

请回答:该尺规作图的依据是

【答案】三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;

或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余;

或:直径所对的圆周角为直角, 为锐角, .

【解析】如图,连接OD、DC,根据题目的作图方法,可由以下三种方法说明所作∠A=30°:

1)由作法可知,OA=OD=OC=DC

∴△ODC是等边三角形∠A=∠ADO

∴∠DOC=60°

∵∠AO所对的圆周角DOCO所对的圆心角

∴∠A=DOC=30°

2)由作法可知,OD=OC=DCAC⊙O的直径

∴△ODC是等边三角形∠ADC=90°

∴∠DCA=60°

∴∠A=180°-90°-60°=30°

3)由作法可知,OA=OC=DC=⊙O的半径,AC⊙O的直径

∴∠ADC=90°

sinA=,

锐角∠A=30°.

综上所述本题答案为三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半;

或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,直角三角形两个锐角互余;

或:直径所对的圆周角为直角, 为锐角, .

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