Question

7．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”．
例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（-5，6）的“妫川伴侣”为点（-5，-6）．
（1）①点（2，1）的“妫川伴侣”为（2，1）；
②如果点A（3，-1），B（-1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，那么这个点是B（填“点A”或“点B”）．
（2）①点M^*（-1，-2）的“妫川伴侣”点M的坐标为（-1，2）；
②如果点N^*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N的“妫川伴侣”，
求点N的坐标．
（3）如果点P在函数y=-x²+4（-2＜x≤a）的图象上，其“妫川伴侣”Q的纵坐标y′的取值范围是-4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是2≤a＜2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）①根据“妫川伴侣”的定义及2＞0可得结论；②求出A、B两点的“妫川伴侣”，代入反比例函数进行检验即可；
（2）①根据-1＜0可得出点M的坐标；②分m+1＞0，m+1＜0两种情况进行讨论，可得答案；
（3）根据其“妫川伴侣”Q的纵坐标y′的取值范围是-4＜y′≤4，可得出a的范围即可．

解答 解：（1）①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；
②如果点A（3，-1）的关联点为（3，-1）；
B（-1，3）的“关联点”为（-1，-3），
一个在函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，那么这个点是B．
故答案为：（2，1），B；
（2）①如果点M^*（-1，-2）是一次函数y=x+3图象上点M的“关联点”是（-1，2），那么点M的坐标为（-1，2）．
故答案为：（-1，2）；
②当m+1≥0，即m≥-1时，由题意得N（m+1，2）．
∵点N在一次函数y=x+3图象上，
∴m+1+3=2，
解得：m=-2（舍去）；
当m+1＜0，即m＜-1时，由题意得N（m+1，-2）．
∵点N在一次函数y=x+3图象上，
∴m+1+3=-2，
解得：m=-6，
∴N（-5，-2）；
（3）如果点P在函数y=-x²+4（-2＜x≤a）的图象上，“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是-4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是2≤a＜2$\sqrt{2}$．
故答案为：2≤a＜2$\sqrt{2}$

点评 此题属于反比例函数综合题，弄清题中新定义“妫川伴侣”是解本题的关键．