Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5．E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交线段DE于点F．
（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；
（3）连接AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值．

Answer 1

解：（1）如图1，过点D作DG⊥BC于点G．
可得DG=AB=4，BG=AD，GC=3，BC=8，EG=5-x；
在Rt△DEG中，
∴DE²=EG²+DG²，即（x+y）²=4²+（5-x）²；
∴y=（负值舍去）
定义域：0＜x≤4.1；

（2）设CD的中点O，连接EO，过点O作OH⊥BC于点H．
OC=，OH=2，HC=，EH=8-x-；
①⊙O与⊙E外切时，OE=x+
在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-）²=（x+）²
∴4+x²-13x+=x²+5x+，
∴18x=40，
化简并解得x=；
②⊙O与⊙E内切时，OE=|x-|
在Rt△OEH中，OE²=OH²+EH²，
∴2²+（8-x-）²=（x-）²，
∴4+x²-13x+=x²-5x+，
∴8x=40，
化简并解得x=5；
综上所述，当⊙O与⊙D相切时，x=5或；

（3）如图2，连接AF，AE，
当AF=AB=4时，由BE=EF，AE=AE，有△ABE和△AEF全等，
∴∠AFE=∠ABE=90°，即AF⊥DE
在Rt△AFD中，DF==3；
由y==3，解得x=2；
如图3，当FA=FB时，过点F作QF⊥AB于点Q，有AQ=BQ，且AD∥BC∥FQ，
∴DF=EF，=x，x=（负值舍去）；
综上所述，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，
x=2或．
分析：（1）想要建立线段与线段之间的函数关系式，就要想办法将这些线段构造在一个图形中，故我们可过点D作DG⊥BC交点G，利用圆与直线的位置关系和勾股定理，即可容易的得出函数关系式．
（2）本题主要是分情况来讨论，①是外切；②是内切；分别根据各相切之间的关系及函数关系式即可得出x的值．
（3）这一问主要是利用数据线的全等、勾股定理以及以求得的函数关系式来进行解答．
点评：本题综合考查了学生对梯形和圆之间的位置关系，利用切线的性质和函数关系式，以及合理的辅助线，方可对本题有一个完善的解答，本题具有一定的难度，属于压轴性题目，望同学们多加练习和总结．