Question

（2010•东营）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系为

相切

；
（2）若⊙O的半径为5，则点A到CD所在直线的距离为

7.5

．

Answer 1

分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠A=30°，∠COD=60°．所以∠OCD=90°．得证；
（2）作AE⊥DC，交DC的延长线于E点．运用三角函数知识，在△OCD中求OD，从而知AD长度；在△ADE中求AE，得解．

解答：解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°．∴∠CAD=∠CDA=30°．      （1分）
连接OC．
∵AO=CO，∴△AOC是等腰三角形．                                    （2分）
∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠COD=60°．                                （3分）
在△COD中，
又∵∠CDO=30°，∴∠DCO=90°．                                    （4分）
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．                              （5分）
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E．                                      （6分）
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，∴OD=2OC=10．AD=AO+OD=15．              （7分）
在Rt△ADE中，∵∠EDA=30°，∴点A到CD边的距离为：AE=AD•sin30°=7.5．（9分）

点评：此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．