Question

如图，已知直线MA交⊙O于A、B两点，BC是⊙O的直径，点D在⊙O上，且BD平分∠MBC，过D作DE⊥MA，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE+BE=12，⊙O的直径是20，求AB和BD的长．

Answer 1

（1）连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠MBC，
∴∠EBD=∠OBD，
∴∠ODB=∠EBD，
∵DE⊥MA，
∴∠DEB=90°，即∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDB=∠DEB，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠EDB=∠DCB，
∴△BDE∽△BCD，
∴

EB

DB

=

DB

BC

，即DB²=EB•BC，
∵DE+BE=12，⊙O的直径是20，
∴BE=x，DE=12-x，DB=

x2+(12-x)2

，
∴x²+（12-x）²=20x，即x²-22x+72=0，
解得：x=4或x=18（舍去），
∴DB=4

5

，
过O作OF⊥AB，可得出AF=BF=

1

2

AB，
∵OF=DE=8，OB=10，
∴根据勾股定理得：BF=

OB2-OF2

=6，
则AB=2BF=12．