Question

2．如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．
【问题引入】
（1）若点O是AC的中点，$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{CN}{BN}$的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．
【探索研究】
（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：$\frac{AM}{MB}$•$\frac{BN}{NC}$•$\frac{CO}{OA}$=1；
【拓展应用】
（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得$\frac{BG}{BN}$=$\frac{AB}{MB}$，即$\frac{NG}{BN}$=$\frac{AM}{MB}$，同理由△ACG∽△OCN得$\frac{NG}{CN}$=$\frac{AO}{CO}$，结合AO=CO得NG=CN，从而由$\frac{CN}{BN}$=$\frac{NG}{BN}$=$\frac{AM}{BM}$可得答案；
（2）由$\frac{NG}{BN}$=$\frac{AM}{MB}$、$\frac{CO}{AO}$=$\frac{CN}{NG}$知$\frac{AM}{MB}$•$\frac{BN}{NC}$•$\frac{CO}{OA}$=$\frac{NG}{BN}$•$\frac{BN}{NC}$•$\frac{CN}{NG}$=1；
（3）由（2）知，在△ABD中有$\frac{AF}{BF}$•$\frac{BC}{CD}$•$\frac{DP}{PA}$=1、在△ACD中有$\frac{AE}{EC}$•$\frac{CB}{BD}$•$\frac{DP}{PA}$=1，从而$\frac{AF}{BF}$•$\frac{BC}{CD}$•$\frac{DP}{PA}$=$\frac{AE}{EC}$•$\frac{CB}{BD}$•$\frac{DP}{PA}$，据此知$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AF}{BF}$•$\frac{BC}{CD}$•$\frac{BD}{CB}$=$\frac{AF}{FB}$•$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{6}$．

解答 解：（1）过点A作AG∥MN交BN延长线于点G，
∴∠G=∠BNM，
又∠B=∠B，
∴△ABG∽△MBN，
∴$\frac{BG}{BN}$=$\frac{AB}{MB}$，
∴$\frac{BG}{BN}$-1=$\frac{AB}{MB}$-1，
∴$\frac{BG-BN}{BN}$=$\frac{AB-MB}{MB}$，即$\frac{NG}{BN}$=$\frac{AM}{MB}$，
同理，在△ACG和△OCN中，$\frac{NG}{CN}$=$\frac{AO}{CO}$，
∴$\frac{CO}{AO}$=$\frac{CN}{NG}$，
∵O为AC中点，
∴AO=CO，
∴NG=CN，
∴$\frac{CN}{BN}$=$\frac{NG}{BN}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{3}$；

（2）由（1）知，$\frac{NG}{BN}$=$\frac{AM}{MB}$、$\frac{CO}{AO}$=$\frac{CN}{NG}$，
∴$\frac{AM}{MB}$•$\frac{BN}{NC}$•$\frac{CO}{OA}$=$\frac{NG}{BN}$•$\frac{BN}{NC}$•$\frac{CN}{NG}$=1；

（3）在△ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，
由（2）得$\frac{AF}{BF}$•$\frac{BC}{CD}$•$\frac{DP}{PA}$=1，
在△ACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分别相交于点E、B，
由（2）得$\frac{AE}{EC}$•$\frac{CB}{BD}$•$\frac{DP}{PA}$=1，
∴$\frac{AF}{BF}$•$\frac{BC}{CD}$•$\frac{DP}{PA}$=$\frac{AE}{EC}$•$\frac{CB}{BD}$•$\frac{DP}{PA}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AF}{BF}$•$\frac{BC}{CD}$•$\frac{BD}{CB}$=$\frac{AF}{FB}$•$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质及比例式的基本性质是解题的关键．