Question

15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=12cm，动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B运动，当点P与Q相遇时，则同时停止运动，点P出发后，以线段PQ为边向上作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm²），点P的运动时间为t（s）
（1）用含t的代数式表示PQ的长；
（2）当正方形PQMN的顶点N在△ABC的AB边上时，求t的值；
（3）从点P出发后到点N落在AB边上这段时间，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据题意、结合图形解答；
（2）根据正方形的性质列出方程，解方程即可；
（3）求出当点A落在MN上时t的值，分0＜t≤2、2＜t＜2.4两种情况，根据三角形的面积公式解答．

解答 解：（1）由题意得，BP=2t，CQ=t，
则PQ=BC-BP-CQ=12-2t-t=12-3t；
（2）如图1，当点N在△ABC的AB边上时，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∴BP=PN，
根据正方形的性质可知，PQ=PN=BP=2t，
则2t+2t+t=12，
解得，t=2.4，
答：正方形PQMN的顶点N在△ABC的AB边上时，t的值为2.4s；
（3）如图2，当点A落在MN上时，作AH⊥BC于H，
则AH=$\frac{1}{2}$BC=6，
根据正方形的性质可知，12-3t=6，
解得，t=2，
当0＜t≤2时，S=$\frac{1}{2}$×AB×AC-$\frac{1}{2}$×2t×2t-$\frac{1}{2}$×t×t=36-$\frac{5}{2}$t²，
当2＜t＜2.4时，S=（12-3t）²-$\frac{1}{2}$×（12-3t-2t）²-$\frac{1}{2}$×（12-3t-t）²=-$\frac{23}{2}$t²+36t．

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角相等、等腰直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．