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已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过直线y=-
2
3
x+2与x轴、y轴的交点,并且还过点(-3,-2).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)画出图象,写出顶点坐标,对称轴;
(3)观察图象,x取什么值时,y>0?
考点:待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质
专题:
分析:(1)一次函数y=-
2
3
x+2的图象与x轴、y轴的交点在二次函数图象上,分别令一次函数x=0,y=0求出其与x轴、y轴的交点,再根据点(-3,-2)也在二次函数图象上,把三点代入二次函数的解析式,用待定系数法求出二次函数的解析式;
(2)利用配方法将一般式化为顶点式,写出顶点坐标,对称轴,再画出图象即可;
(3)抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求.
解答:解:(1)∵y=-
2
3
x+2,
∴当y=0时,-
2
3
x+2=0,解得x=3,
当x=0时,y=2,
∴直线y=-
2
3
x+2与x轴的交点坐标为(3,0),与y轴的交点坐标为(0,2),
∵y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过直线y=-
2
3
x+2与x轴y轴的交点,并且还过点(-3,-2),
9a+3b+c=0
c=2
9a-3b+c=-2

解得
a=-
1
3
b=
1
3
c=2

所以,二次函数的解析式为y=-
1
3
x2+
1
3
x+2;

(2)∵y=-
1
3
x2+
1
3
x+2=-
1
3
(x-
1
2
2+
1
12
+2=-
1
3
(x-
1
2
2+
25
12

∴顶点坐标为(
1
2
25
12
),
对称轴为直线x=
1
2

函数图象如图所示;

(3)由图可知,当-2<x<3时,y>0.
点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,待定系数法求函数解析式是常用的方法,需熟练掌握并灵活运用,(2)整理成顶点式形式求解更简便.
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x2-4x+4
x2-4
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x
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