Question

14．如图，已知直线y=-$\frac{6}{5}$x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l∥x轴且在一象限交AB于E，F为l上一点，连接AF、BF，线段BF所在的直线y=-x+6．
（1）若直线l经过（0，2），求E、F两点的坐标．
（2）若△ABF的面积是四边形AOBF面积的$\frac{1}{10}$，求点E、F两点的坐标．
（3）M在y轴正半轴上，OM=$\frac{5}{6}$OB，在直线AM上找一点P，使S_△ABP=S_△AOB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 先设出直线l的解析式，表示出点E，F坐标；
（1）由m=2代入点E，F坐标即可得出结论；
（2）用面积公式表示出三角形ABF和四边形AOBF的面积，用面积关系建立方程求解即可；
（3）先确定出直线AM解析式，同（2）的方法分两种情况计算即可．

解答 解：∵直线y=-$\frac{6}{5}$x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（0，6），B（5，0），
设直线l的解析式为y=m，（0＜m＜6），
∵直线l∥x轴且在一象限交AB于E，
∴令y=m，
∴m=-$\frac{6}{5}$x+6．
∴x=$\frac{5}{6}$（6-m），
∴E（$\frac{5}{6}$（6-m），m）
∵线段BF所在的直线y=-x+6，
令y=m，
∴-x+6=m，
∴x=6-m，
∴F（6-m，m），
∴G（0，m）
（1）如图1，

∵直线l经过（0，2），
∴E（$\frac{10}{3}$，2），F（4，2），
（2）S_△ABF=S_△BEF+S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF×BG+$\frac{1}{2}$EF×OG=$\frac{1}{2}$EF×（BG+OG）=$\frac{1}{2}$EF×OB=$\frac{1}{2}$×6[6-m-$\frac{5}{6}$（6-m）]=$\frac{1}{2}$（6-m），
S_{四边形AOBF}=S_△BGF+S_梯形AOGF=$\frac{1}{2}$FG×BG+$\frac{1}{2}$（GF+OA）×OG=$\frac{1}{2}$（6-m）（6-m）+$\frac{1}{2}$（6-m+5）×m=$\frac{1}{2}$（36-m），
∵△ABF的面积是四边形AOBF面积的$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{2}$（6-m）=$\frac{1}{2}$（36-m）×$\frac{1}{10}$，m\
∴m=$\frac{8}{3}$，
∴E（$\frac{25}{9}$，$\frac{8}{3}$），F（$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$），
（3）如图2，

∵M在y轴正半轴上，OM=$\frac{5}{6}$OB=$\frac{5}{6}$×6=5，
∴M（0，5），
∵A（5，0），
∴直线AM解析式为y=-x+5
∵A（5，0），B（0，6），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=15，
∵S_△ABP=S_△AOB，
∴S_△ABP=15，
设P（n，-n+5）
∵点M在OB上，
∴点P只能在线段AM的延长线上或在线段MA的延长线上，
①当点P在AM的延长线上时，S_△ABP'=S_△BMP'+S_△BMA=$\frac{1}{2}$BM×|x_P|+$\frac{1}{2}$BM×|x_A|=$\frac{1}{2}$BM×（|x_P|+|x_A|）=$\frac{1}{2}$×1×（|n|+5）=15，
∴n=25（舍）或n=-25，
∴P'（-25，30），
当点P在MA的延长线上时，S_△ABP=S_△BMP-S_△BMA=$\frac{1}{2}$BM×|x_P|-$\frac{1}{2}$BM×|x_A|=$\frac{1}{2}$BM×（|x_P|-|x_A|）=$\frac{1}{2}$×1×（|n|-5）=15，
∴n=-35（舍）或n=35，
∴P'（35，-30），
故点P的坐标（-25，30）或（35，-30）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形，梯形的面积公式，解本题的关键是坐标系中几何图形的面积的计算方法，是一道比较简单的中考常考题．