Question

18．如图，已知直线y=-2x+8和x轴、y轴分别交于B和A，直线l经过点C（2，-4）和D（0，-3），向下平移1个单位后与x轴、y轴分别交于点E、F，直线AB和EF相交于点P．
（1）直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-3，线段BC的长为2$\sqrt{5}$；
（2）求证：△AOB≌△EOF；
（3）判断△APE的形状，并说明理由；
（4）求△APE的面积．

Answer 1

分析 （1）设直线l的解析式为y=kx+b，将C、D坐标代入，求出k、b的值，即可得出l的解析式；作CM⊥OB于M，如图所示：则∠CMB=90°，OM=2，CM=4，求出点A、B的坐标，得出OA、OB的长，得出BM，由勾股定理求出BC的长即可；
（2）先求出直线向下平移1个单位后的解析式，得出点E、F的坐标，得出AO=EO，BO=FO，由SAS证明△AOB≌△EOF即可；
（3）由（2）知△AOB≌△EOF，可得∠OAB=∠OEF，又根据OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，可得∠PAE=∠PEA，即可得出△APE是等腰三角形；
（4）先由直线AB和直线EF的解析式求出点P的坐标，△APE的面积=△ABE的面积+△PBE的面积，即可得出结果．

解答 （1）解：设直线l的解析式为y=kx+b，
将点C（2，-4）和D（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴直线l的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-3；
作CM⊥OB于M，如图所示：
则∠CMB=90°，OM=2，CM=4，
∵直线y=-2x+8和x轴、y轴分别交于B和A，
∴A（0，8），B（4，0），
∴OA=8，OB=4，
∴BM=OB-OM=2，
∴BC=$\sqrt{B{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
故答案为：y=-$\frac{1}{2}$x-3，2$\sqrt{5}$；
（2）证明：直线向下平移1个单位后解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，
∴E（-8，0），F（0，-4），
∴OE=OA=8，OF=OB=4，
在△AOB和△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}&{\;}\\{∠AOB=∠EOF}&{\;}\\{OB=OF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△EOF（SAS）；
（3）解：△APE是等腰三角形；理由如下：
由（2）得：△AOB≌△EOF，
∴∠OAB=∠OEF，
又OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAB+∠OAE=∠OEF+∠OEA，
即∠PAE=∠PEA，
∴△APE是等腰三角形；
（4）解：由直线AB和直线EF的解析式组成方程组为$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=-\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-8}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（8，-8），
∵BE=OE+OB=8+4=12，
∴△APE的面积=△ABE的面积+△PBE的面积=$\frac{1}{2}$×12×8+$\frac{1}{2}$×12×8=96．

点评 本题考查了一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解函数解析式、平移的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定，知识点较多，难度适中．