Question

10．如图，点A在以BC为直径的半圆上，BC=8，∠ACB=30°，点D在线段BC上运动，点E与点D关于AB对称，点F与点D关于AC对称，点G与点D关于点A对称．连结DE、EG、GF、FD、EF、GD，则：
（1）当四边形DEGF是正方形时，BD=4$\sqrt{3}$-4；
（2）当△GEF的一边与⊙O相切时，BD的长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4或2或4．

Answer 1

分析 （1）先利用对称的性质得到AD=AE=AF=AG，则可判断四边形DEGF为矩形，再根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BAC=90°，则AB=$\frac{1}{2}$BC=4，由于点E与点D关于AB对称，则BE⊥AB于M，如图1，设BM=x，在Rt△BDM中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BD=2x，DM=$\sqrt{3}$x，接着利用正方形的性质得∠ADM=45°，则AM=DM=$\sqrt{3}$x，所以$\sqrt{3}$x+x=4，解得x=2$\sqrt{3}$-2，于是得到BD=2x=4$\sqrt{3}$-4；
（2）分类讨论：当EF与⊙O相切时，则点A为切点，连结OA，如图2，则OA⊥EF，先证明△OAB为等边三角形得到∠OAB=60°，则∠EAB=30°，再根据等腰三角形的性质得∠BAD=∠EAB=30°，所以∠ADB=90°，然后在Rt△ABD中利用含30度的直角三角形三边的关系易得BD=$\frac{1}{2}$AB=2；当GF与⊙O相切时，设点M为切点，连结OM，OM交AC于N，CE交AB于H，如图3，则OM⊥EF，在Rt△OCN中可计算出ON=$\frac{1}{2}$OC=2，则MN=OM-ON=2，由于四边形DEGF为矩形，AH∥DF，所以AH=MN=2，则BH=2，在Rt△BDH中利用含30度的直角三角形三边的关系易得BD=2BH=4；当EG与⊙O相切时，设点Q为切点，连结OQ交DF于K，DE交AB于H，如图4，则OQ⊥EG，先证明DE∥OQ∥AC，得到∠BDE=∠DOK=∠C=30°，同时有DH=HE，QK=DE，设BH=x，则DH=$\sqrt{3}$x，BD=2x，所以KQ=2DH=2$\sqrt{3}$x，在Rt△OKD中，可表示出OK=OQ-QK=4-2$\sqrt{3}$x，OD=OB-BD=4-2x，然后根据30度的余弦得到cos30°=$\frac{OK}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即2（4-2$\sqrt{3}$x）=$\sqrt{3}$（4-2x），解方程求出x即可得到BD的长．

解答 解：（1）∵点F与点D关于AC对称，点G与点D关于点A对称，
∴AE=AF，DA=GA，
∴四边形DEGF为平行四边形，
∵点E与点D关于AB对称，点F与点D关于AC对称，
∴AD=AE，AD=AF，
∴DG=EF，
∴四边形DEGF为矩形，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵点E与点D关于AB对称，
∴BE⊥AB于M，如图1，
设BM=x，
在Rt△BDM中，∵∠B=60°，
∴BD=2x，DM=$\sqrt{3}$x，
∵四边形DEGF是正方形，
∴∠ADM=45°，
∴△AMD为等腰直角三角形，
∴AM=DM=$\sqrt{3}$x，
而AM+BM=AB，
∴$\sqrt{3}$x+x=4，解得x=2$\sqrt{3}$-2，
∴BD=2x=4$\sqrt{3}$-4；
（2）当EF与⊙O相切时，则点A为切点，连结OA，如图2，则OA⊥EF，
∵∠B=60°，OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴∠EAB=30°，
∵AE=AD，AB⊥DE，
∴∠BAD=∠EAB=30°，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2；
当GF与⊙O相切时，设点M为切点，连结OM，OM交AC于N，DE交AB于H，如图3，则OM⊥GF，
在Rt△OCN中，ON=$\frac{1}{2}$OC=2，则MN=OM-ON=4-2=2，
∵四边形DEGF为矩形，
而AH∥DF，
∴AH=MN=2，
∴BH=AB-AH=2，
在Rt△BDH中，BD=2BH=4；
当EG与⊙O相切时，设点Q为切点，连结OQ交DF于K，DE交AB于H，如图4，则OQ⊥EG，
∵四边形DEGF为矩形，
∴OQ⊥DF，OQ∥DE，
而AC⊥DF，
∴DE∥OQ∥AC，
∴∠BDE=∠DOK=∠C=30°，
DH=HE，QK=DE，
设BH=x，则DH=$\sqrt{3}$x，BD=2x，
∴KQ=2DH=2$\sqrt{3}$x，
在Rt△OKD中，OK=OQ-QK=4-2$\sqrt{3}$x，OD=OB-BD=4-2x，
∵∠DOK=30°，
∴cos30°=$\frac{OK}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2（4-2$\sqrt{3}$x）=$\sqrt{3}$（4-2x），解得x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2，
∴BD=2x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4，
综上所述，BD的长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4或2或4．
故答案为4$\sqrt{3}$-4；$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4或2或4．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质；理解对称的性质；会解直角三角形；会运用分类讨论思想解决数学问题．