Question

如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东30°方向上的A处，且A处距离灯塔C80海里，轮船沿正南方向匀速航行一段时间后，到达灯塔C的东南方向上的B处．
（1）求灯塔C到航线AB的距离；
（2）若轮船的速度为20海里/时，求轮船从A处到B处所用的时间（结果仅保留根号）．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，得到∠CAD=30°，在Rt△ACD中，利用含30°的直角三角形的三边关系可求出CD的长；
（2）在Rt△BCD中，由∠BCD=45°，根据CD的长，即可求得BD的长；根据AB=AD+BD即可求出AB的长．根据时间=路程÷速度可求出轮船从A到B所用的时间．

解答：解：（1）过C作CD⊥AB于D．
∴∠A=30°，∠BCD=45°，
在Rt△ACD中，AC=80，∠A=30°，
∴CD=

1

2

AC=40海里，
答：灯塔C到AB的距离为40海里；

（2）在Rt△ACD中，AD=AC•cos30°=80×

3

2

=40

3

．
在Rt△BCD中，∠BCD=∠B=45°，
∴BD=CD=40（海里）．
∴AB=AD+BD=40+40

3

（海里）．
∴轮船所用的时间为：

40 3 +40

20

=2

3

+2（小时）．
答：轮船从A处到B处所用的时间为（2

3

+2）小时．

点评：本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线；还考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质．