Question

（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；
（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）
（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．

Answer 1

分析：（1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出CM、CN的长度，则MN=CM+CN；
（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，CM=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，所以MN=

1

2

（AC+BC）=

a+b

2

；
（3）长度会发生变化，分点C在线段AB上、点B在A、C之间和点A在B、C之间三种情况讨论．

解答：解：（1）∵AC=6cm，点M是AC的中点
∴CM=

1

2

AC=3cm
∵BC=4cm，点N是BC的中点
∴CN=

1

2

BC=2cm
∴MN=CM+CN=5cm
∴线段MN的长度为5cm．（4分）

（2）MN=

a+b

2

．（6分）

（3）线段MN的长度会变化．（7分）
当点C在线段AB上时，由（2）知MN=

a+b

2

（8分）
当点C在线段AB的延长线时，如图：

则AC=a＞BC=b
∵AC=a点M是AC的中点
∴CM=

1

2

AC=

1

2

a
∵BC=b点N是BC的中点
∴CN=

1

2

BC=

1

2

b
∴MN=CM-CN=

a-b

2

（9分）
当点C在线段BA的延长线时，如图：

则AC=a＜BC=b
同理可求：CM=

1

2

AC=

1

2

a
CN=

1

2

BC=

1

2

b
∴MN=CN-CM=

b-a

2

（10分）
∴综上所述，线段MN的长度会变化，MN=

a+b

2

，

a-b

2

，

b-a

2

．

点评：本题主要是线段中点的运用，分情况讨论是解题的难点，难度较大．