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如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(3，0)，C(0，2)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点M，使△PEM是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点M的坐标．

答案：
解析：

　　解：(1)由翻折知：PB平分∠APD，PE平分∠OPF，又∵PD、PF重合

　　∴∠BPE＝90°．

　　∴∠OPE＋∠APB＝90°．又∠APB＋∠ABP＝90°，

　　∴∠OPE＝∠PBA．

　　∴△POE∽△BPA；1分

　　∴；即；∴y＝x(3－x)＝－x²＋x(0＜x＜3)；2分

　　∴

　　∴x＝时，y有最大值．3分

　　(2)由题意知：△PAB、△POE均为等腰直角三角形，

　　∴P(1，0)，E(0，1)，B(3，2)．4分

　　设过此三点的抛物线为y＝ax²＋bx＋C，则∴；5分

　　∴y＝x²－x＋1；6分

　　(3)①若∠EPM＝90°

　　由(2)知∠EPB＝90°，∴点M与点B重合时满足条件．此时M(3，2)；7分

　　②若∠PEM＝90°

　　∵直线PB为y＝x－1，与y轴交于点(0，－1)．

　　∴将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，得直线EM为y＝x＋1．

　　此时EM⊥EP

　　∴直线EM：y＝x＋1与抛物线y＝x²－x＋1的交点M也满足条件

　　由得或(舍去)，∴M(4，5)；8分

　　∴由①、②知该抛物线上存在M(3，2)或M(4，5)满足条件．9分

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（2）请写出平移后点A′的坐标，记作

（2，2）

．

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