【题目】如图,矩形ABCD中,P是边AD上的一动点,连接BP、CP,过点B作射线交线段CP的延长线于点E,交AD边于点M,且使得∠ABE=∠CBP,如果AB=2,BC=5,AP=x,PM=y.
(1)说明△ABM∽△APB;并求出y关于x的函数关系式,写出自变量x的取值范围;
(2)当AP=4时,求sin∠EBP的值;
(3)如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形,求AP的长.
【答案】(1)证明见解析;y=x﹣;2<x≤5;(2);(3)4或.
【解析】
(1)易证△ABM∽△APB,然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式,由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5,再由y>0就可求出该函数的自变量取值范围;
(2)过点M作MH⊥BP于H,由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP,然后根据面积法可求出MH,从而可求出BH,就可求出∠EBP的正弦值;
(3)可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论:①当EB=EC时,可证到△AMB≌△DPC,则有AM=DP,从而有x-y=5-x,即y=2x-5,代入(1)中函数解析式就可求出x的值;②当CB=CE时,可得到PC=EC-EP=BC-MP=5-y,在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系,然后结合y关于x的函数解析式,就可求出x的值.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CBP=∠BPA
∵∠ABE=∠CBP,
又∠A=∠A,
∴△ABM∽△APB
由△ABM∽△APB,得,
∴,
∴y=x﹣.
∵P是边AD上的一动点,
∴0≤x≤5.
∵y>0,
∴x﹣>0,
∴x>2,
∴x的取值范围为2<x≤5;
(2)过点M作MH⊥BP于H,如图.
∵AP=x=4,∴y=x﹣=3,
∴MP=3,AM=1,
∴BM=,BP=.
∵S△BMP=MPAB=BPMH,
∴MH=,
∴sin∠EBP=;
(3)①若EB=EC,则有∠EBC=∠ECB.
可证△AMB≌△DPC,
∴AM=DP,
∴x﹣y=5﹣x,
∴y=2x﹣5,
∴x﹣=2x﹣5,
解得:x1=1,x2=4.
∵2<x≤5,
∴AP=x=4;
②若CE=CB,则∠EBC=∠E.
∵AD∥BC,
∴∠EMP=∠EBC=∠E,
∴PE=PM=y,
∴PC=EC﹣EP=5﹣y,
∴在Rt△DPC中,(5﹣y)2﹣(5﹣x)2=22,
∴3x2﹣10x﹣4=0,
解得:x1=,x2=(舍去).
∴AP=x=.
终上所述:AP的值为4或.
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【题目】如图,已知点在的直径延长线上,点为上,过作,与的延长线相交于,为的切线,,.
(1)求证:;
(2)求的长;
(3)若的平分线与交于点,为的内心,求的长.
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【题目】为了备战初三物理、化学实验操作考试,某校对初三学生进行了模拟训练,物理、化学各有3个不同的操作实验题目,物理题目用序号①、②、③表示,化学题目用字母a、b、c表示,测试时每名学生每科只操作一个实验,实验的题目由学生抽签确定,第一次抽签确定物理实验题目,第二次抽签确定化学实验题目.
(1)小李同学抽到物理实验题目①这是一个 事件(填“必然”、“不可能”或“随机”).
(2)小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好,请用画树形图(或列表)的方法,求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率.
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【题目】抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA,求抛物线的解析式( )
A.y=x2﹣2x﹣3B.y=x2﹣2x+3C.y=x2﹣2x﹣4D.y=x2﹣2x﹣5
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【题目】如图,点O为原点,⊙O的半径为1,点A的坐标为(2,0),动点B在⊙O上,以AB为边作等边△ABC(顺时针),则线段OC的最小值为_____.
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【题目】如图,直线y=x+6与x轴、y轴分别交于A,B两点,将直线l1沿着y轴正方向平移一段距离得到直线l2交y轴于点M,且l1与l2之间的距离为3,点C(x,y)是直线11上的一个动点,过点C作AB的垂线CD交y轴于点D.
(1)求直线l2的解析式;
(2)当C运动到什么位置时,△AOD的面积为21,求出此时点C的坐标;
(3)连接AM,将△ABM绕着点M旋转得到△A'B'M',在平面内是否存在一点N.使四边形AMA'N为矩形?若存在,求出点N的坐标:若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标,纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3,…An,…,将抛物线y=x2沿直线L:y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:
①抛物线的顶点M1,M2,M3,…Mn,…都在直线L:y=x上;
②抛物线依次经过点A1,A2,A3…An,….
则M2016顶点的坐标为________.
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【题目】如图,点E为△ABC的外接圆⊙O上一点,OE⊥BC于点D,连接AE并延长至点F,使∠FBC=∠BAC,
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若点D为OE中点,过点B作BG⊥AF于点G,连接DG,⊙O的半径为,AC=5.
①求∠BAC的度数;
②求线段DG的长.
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【题目】如图,将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD,若OA=4,∠AOB=35°,则下列结论错误的是( )
A. ∠BDO=60° B. ∠BOC=25° C. OC=4 D. BD=4
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