Question

【题目】如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD.

（1）求证：AB=BE；

（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) AD＝。

【解析】

(1)由切线的性质可得∠BAE＋∠MAB＝90°，进而得∠AEB＋∠AMB＝90°，由等腰三角形的性质得∠MAB＝∠AMB，继而得到∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边即可得结论；

(2)连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，利用勾股定理可求得BC=8，证明△ABC∽△EAM，可得∠C＝∠AME，，可求得AM＝，再由圆周角定理以及等量代换可得∠D＝∠AMD，继而根据等角对等边即可求得AD＝AM＝.

(1)∵AP是⊙O的切线，

∴∠EAM＝90°，

∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，

又∵AB＝BM，

∴∠MAB＝∠AMB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE；

(2)连接BC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°

在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，

∴BC＝=8，

由(1)知，∠BAE＝∠AEB，

又∠ABC=∠EAM=90°，

∴△ABC∽△EAM，

∴∠C＝∠AME，，

即，

∴AM＝，

又∵∠D＝∠C，

∴∠D＝∠AMD，

∴AD＝AM＝.