Question

如图，P是抛物线 y₂=x²-6x+9对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=

4±2

2

．

Answer 1

分析：依题意，设A（t，t），B（t，t²-6t+9），则AB=|t-（t²-6t+9）|=|t²-7t+9|，当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PAB=90°，PA=AB=|t+1|；当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，PB=AB=|t+1|；分别列方程求k的值．

解答：解：∵直线x=t分别与直线y=x、抛物线y=x²-6x+9交于点A、B两点，
∴A（t，t），B（t，t²-6t+9），AB=|t-（t²-6t+9）|=|t²-7t+9|，
①当△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时，∠PAB=90°，此时PA=AB=|t+1|，
即|t²-7t+9|=|t+1|，
∴t²-7t+9=t+1或t²-7t+9=-t-1，
解得t=4±2

2

；
②当△ABP是以点B为直角顶点的等腰直角三角形时，则∠PBA=90°，此时PB=AB=|t+1|，结果同上．
故答案为：4±2

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据函数解析式表示A、B两点坐标，再表示线段AB，根据题意，列方程求解．