Question

如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）若CD=3，AD=4，求EF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可得AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，又由BD=CE，利用SAS即可判定△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE，可得∠ADB=∠CEB，进而得出∠ADC=∠BEC又由∠DAC=∠EAF，即可判定△AEF∽△ADC，由相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE，

AB=BC ∠ABD=∠C BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）∵△ABD≌△BCE，
∴∠ADB=∠BEC，
∴∠ADC=∠AEF，
∵∠DAC=∠EAF，
∴△ADC∽△AEF，
∴

EF

CD

=

AE

AD

，
∵AB=BC，BD=CE，
∴DC=AE=3，
∴EF=

3×3

4

=

9

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角新的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．