【题目】如图,在正方形ABCD中,点E为AB上的点(不与A,B重合),△ADE与△FDE关于DE对称,作射线CF,与DE的延长线相交于点G,连接AG,
(1)当∠ADE=15°时,求∠DGC的度数;
(2)若点E在AB上移动,请你判断∠DGC的度数是否发生变化,若不变化,请证明你的结论;若会发生变化,请说明理由;
(3)如图2, 当点F落在对角线BD上时,点M为DE的中点,连接AM,FM,请你判断四边形AGFM的形状,并证明你的结论。
【答案】(1) ∠DGC=45°; (2) ∠DGC=45°不会变化; (3) 四边形AGFM是正方形
【解析】
(1)根据对称性及正方形性质可得∠CDF=60°=∠DFC,再利用三角形外角∠DFC=∠FDE+∠DPF可求∠DPC度数;
(2)由(1)知△DFC为等腰三角形,得出DF=DC,求出∠DFC=45+∠EDF,由∠DFC=∠DGC+∠EDF可得∠DGC=45;
(3)证明FG=MF=MA=AG,∠AGF=90,即可得出结论.
(1)△FDE与ADE关于DE对称
∴△FDE≌△ADE
∴∠FDE=∠ADE=15,AD=FD
∴∠ADF=2∠FDE=30
∵ABCD为正方形
∴AD=DC=FD,∠ADC=∠DAC=∠DFE=90
∴∠FDC=∠ADC-∠ADF=60
∴△DFC为等边三角形
∴∠DFC=60
∵∠DFC为△DGF外角
∴∠DFC=∠FDE+∠DGC
∴∠DGC=∠DFC-∠FDE=60-15=45
(2)不变.
证明: 由(1)知△DFC为等腰三角形,DF=DC
∴∠DFC=∠DCF= (180-∠CDF) =90-∠CDF①
∵∠CDF=90-∠ADF=90-2∠EDF②
将②代入①得∠DFC=45+∠EDF
∵∠DFC=∠DGC+∠EDF
∴∠DGC=45
(3)四边形AMFG为正方形.
证明: ∵M为Rt△ADE中斜边DE的中点
∴AM=DE
∵M为Rt△FED中斜边DE的中点
∴FM=DE=AM=MD
由(1)知△AED≌△FED ∴AD=DF,∠ADG=∠FDG
△ADG与△FDG中,
AD=DF, ∠ADG=∠FDG,DG=DG
∴△ADG≌△FDG,
由(2)知∠DGC=45
∴∠DGA=∠DGF=45,AG=FG, ∠AGF=∠DGA+∠DGF=90
∵DB为正方形对角线,
∴∠ADB=∠45,
∵∠ADG=∠GDF=∠ADB=22.5
∵DM=FM
∴∠GDF=∠MFD=22.5
∵∠GMF=∠GDF+∠MFD=45
∴∠GMF=∠DGF=45
∴MF=FG
∴FG=MF=MA=AG,∠AGF=90
∴四边形AMFG为正方形。
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【题目】如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,AB为直径,∠ABC=30°,CD是⊙O的切线,E为AC延长线上一点,ED⊥AB于F.
(1)判断△DCE的形状;
(2)设⊙O的半径为1,且OF=,求证:△DCE≌△OCB.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=CD=8,过点B作EB⊥AB,交CD于点E.若DE=6,则AD的长为( )
A.6 B.8 C.9 D.10
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【题目】一辆货车从仓库O出发在东西街道上运送水果,规定向东为正方向,一次到达的5个销售地点分别为A,B,C,D,E,最后回到仓库O,货车行驶的记录(单位:千米)如下:+2,+3,﹣6,﹣1,﹣2,+4.请问:
(1)请以仓库O为原点,向东为正方向,选择适当的单位长度,画出数轴,并标出A,B,C,D,E的位置;
(2)试求出该货车共行驶了多少千米?
(3)如果货车运送的水果以100千克为标准重量,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,则运往A,B,C,D,E五个地点的水果重量可记为:+50,﹣15,+25,﹣10,﹣20,则该货车运送的水果总重量是多少千克?
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【题目】在□ABCD,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF平分∠DAB.
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【题目】某公司经营杨梅业务,以3万元/吨的价格买入杨梅后,分拣成A、B两类,A类杨梅包装后直接销售,包装成本为1万元/吨,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(≥2,单位:吨)之间的函数关系如图所示;B类杨梅深加工后再销售,深加工总费用s(单位:万元)与加工数量t(单位:吨)之间的函数关系是,平均销售价格为9万元/吨.
(1)A类杨梅的销售量为5吨时,它的平均销售价格是每吨多少万元?
(2)若该公司收购10吨杨梅,其中A类杨梅有4吨,则经营这批杨梅所获得的毛利润(w)为多少万元?(毛利润=销售总收入-经营总成本)
(3)若该公司收购20吨杨梅,其中A类杨梅有x吨,经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元.
①求w关于x的函数关系式;
②若该公司获得了30万元毛利润,问:用于直销的A类杨梅有多少吨?
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【题目】如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点, 过点C作CF//AB交AE的延长线于点F,连接BF.
(1) 求证:DB=CF;
(2) 如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC中,∠B=90°,tan∠BAC=,半径为2的⊙O从点A开始(图1),沿AB向右滚动,滚动时始终与AB相切(切点为D);当圆心O落在AC上时滚动停止,此时⊙O与BC相切于点E(图2).作OG⊥AC于点G.
(1)利用图2,求cos∠BAC的值;
(2)当点D与点A重合时(如图1),求OG;
(3)如图3,在⊙O滚动过程中,设AD=x,请用含x的代数式表示OG,并写出x的取值范围.
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【题目】某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务.已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.工厂现有80名工人,每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置.工厂将所有工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.
(1)按照这样的生产方式,工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品?请列出二元一次方程组解答此问题.
(2)为了在规定期限内完成总任务,工厂决定补充一些新工人,这些新工人只能独立进行G型装置的加工,且每人每天只能加工4个G型装置.1.设原来每天安排x名工人生产G型装置,后来补充m名新工人,求x的值(用含m的代数式表示)2.请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务?
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