Question

3．在平面直角坐标系中，定义：P（x，y），若满足x+y=-xy，则称点P为“和谐点”，如点P（0，0）是一个和谐点．
①若和谐点在双曲线y=$\frac{4}{x}$上，求这个和谐点．
②求证：直线y=x+m上一定有两个和谐点．

Answer 1

分析 ①先根据新定义得到x+y=-xy，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到xy=4，即x+y=4，然后解方程组求出x=y=-2，于是得到这个和谐点；
②根据新定义得到x+y=-xy，而y=x+m，则x+x+m=-x（x+m），再利用判别式的意义判断此方程有两个不相等的实数解，则说明x、y有两组值满足x+y=-xy，所以根据新定义可判断直线y=x+m上一定有两个和谐点．

解答 ①解：根据题意得x+y=-xy，
而xy=4，
所以x+y=-4，解得x=-2，y=-2，
所以这个和谐点为（-2，-2）；
②证明：∵x+y=-xy，
y=x+m，
∴x+x+m=-x（x+m），
整理得x²+（m+2）x+m=0，
∵△=（m+2）²-4m=m²+4＞0，
∴此方程一定有两个不相等的实数解，
∵直线y=x+m上一定有两个点满足x+y=-xy，
∴直线y=x+m上一定有两个和谐点．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．