Question

如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．
（1）求证：AM∥BN；
（2）求y关于x的关系式；
（3）求四边形ABCD的面积S，并证明：S≥2．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明；
（2）作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，再表示出关于y的函数关系式；
（3）根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积，再根据求差法比较它们的大小．

解答：（1）证明：∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN．

（2）解：过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF．
由（1）AM∥BN，∴四边形ABFD为矩形．
∴DF=AB=2，BF=AD=x．
∵DE、DA，CE、CB都是切线，
∴根据切线长定理，得DE=DA=x，CE=CB=y．
在Rt△DFC中，DF=2，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）²=2²+（y-x）²，
化简，得y=

1

x

（x＞0）．

（3）解：由（1）、（2）得，四边形的面积S=

1

2

AB（AD+BC）=

1

2

×2×（x+

1

x

），
即S=x+

1

x

（x＞0）．
∵（x+

1

x

）-2=x-2+

1

x

=（

x

-

1

x

）²≥0，当且仅当x=1时，等号成立．
∴x+

1

x

≥2，即S≥2．

点评：此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、勾股定理以及求差法比较两个数的大小．