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    （2013•普陀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D在AC上，CD=1，P是边AB上的一动点，设BP=m．
    （1）如图甲，当m为何值时，△ADP与△ABC相似；
    （2）如图乙，延长DP至点E，使EP=DP，连结AE，BE．
    ①四边形AEBC的面积S会随m的变化而变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出S与m的函数关系式；
    ②作点E关于直线AB的对称点Eˊ，连结BD，当∠DBA=2∠DEEˊ时，求m的值．
    分析：（1）根据若△ADP与△ABC相似，则
    AP
    AB
    =
    AD
    AC
    或
    AD
    AB
    =
    AP
    AC
    ，列出算式，再计算即可．
    （2）①四边形AEBC的面积S不变，分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，则∠DGP=∠EHP=90°，再根据∠GPD=∠HPE，DP=EP，得出△DGP≌△EHP，DG=EH，再根据sin∠BAC=
    BC
    AB
    =
    DG
    AD
    =
    3
    5
    ，求出EH=DG=
    3
    5
    ×3，最后根据S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE代入计算即可；
     ②当E'在D的上方时，则 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，再根据∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D，得出∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP，BP=BD=
    		32+12
    ，即可求出m，
    当E'在D的下方时，记BD与PE'交于点F，先求出DE'=2PG=2（5-m-
    12
    5
    ），再根据BD=BF+DF=BP+DE'=m+
    26
    5
    -2m    =
    		10
    ，求出m即可．
    解答：解：（1）若△ADP与△ABC相似，
    则
    AP
    AB
    =
    AD
    AC
    或
    AD
    AB
    =
    AP
    AC
    ，
    3
    4
    =
    5-m
    5
    或
    3
    5
    =
    5-m
    4
    ，
    ∴m=
    5
    4
    或m=
    13
    5
    ，
    综上所述，当m=
    5
    4
    或m=
    13
    5
    时，△ADP与△ABC相似；

    （2）；①四边形AEBC的面积S不变，且S=
    21
    2
    ，
    理由如下：如图①：
    分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，
    ∴∠DGP=∠EHP=90°，
    又∵∠GPD=∠HPE，DP=EP，
    ∴△DGP≌△EHP，
    ∴DG=EH，
    ∵sin∠BAC=
    BC
    AB
    =
    DG
    AB
    =
    3
    5
    ，
    ∴EH=DG=
    3
    5
    ×3=
    9
    5
    ，
    ∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=
    1
    2
    ×3×4+
    1
    2
    ×5×
    9
    5
    =
    21
    2
    ；
     
    ②当E'在D的上方时，如图②
    由题意，得 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，
    ∴∠DPE'=2∠PEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D
    ∵AB⊥EE′，DE′⊥EE′，
    ∴AB∥DE′，
    ∴∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP
    ∴BP=BD=
    		32+12
    =
    		10

    ∴m=
    		10
    ；
    当E'在D的下方时，如图③，记BD与PE'交于点F
    由（2）①，得 BF=BP，DF=DE'，
    DE'=2PG=2（5-m-
    12
    5
    ）=
    26
    5
    -2m，
    ∴BD=BF+DF=BP+DE'
    =m+
    26
    5
    -2m，
    =
    26
    5
    -m=
    		10
    ，
    ∴m=
    26
    5
    -
    		10
    ；
    综上所述，当m=
    		10
    或m=
    26
    5
    -
    		10
    时，∠DBA=2∠DEE'．
    点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等，关键是根据题意画出图形，列出算式．
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