Question

已知：直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过点A、C、E，且点E（6，7）
（1）求抛物线的解析式．
（2）在直线AE的下方的抛物线取一点M使得构成的△AME的面积最大，请求出M点的坐标及△AME的最大面积．
（3）若抛物线与x轴另一交点为B点，点P在x轴上，点D（1，-3），以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，求出A，C两点的坐标，再用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点M，作MN∥y轴交AE于点N，过点E作EH⊥x轴于点H，则S_△AME=

1

2

•MN•AH，而AH=7，故当MN取最大值时，△AME的面积最大．设点M的横坐标为a，则纵坐标为

1

2

a²-

3

2

a-2，先用待定系数法求出AE的解析式，得到N的坐标为（a，a+1），再用含a的代数式表示MN，然后根据二次函数的增减性求出MN的最大值；
（3）过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DM⊥x轴于点M．先证明△EAF与△BDM都是等腰直角三角形，得到∠EAB=∠MBD．当以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似时，①过点D作∠DP₁B=∠AEB交x轴于点P₁，得到△ABE∽BDP₁；②过点D作∠DP₂B=∠ABE交x轴于点P₂，得到△ABE∽△BP₂D，根据相似三角形对应边成比例即可．

解答：解：（1）∵直线y=-2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（-1，0），C（0，-2）．
设过点A、C、E三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0 c=-2 36a+6b+c=7

，
解得

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）在抛物线上取一点M，作MN∥y轴交AE于点N，过点E作EH⊥x轴于点H，则
S_△AME=S_△AMN+S_△MNE=

1

2

MN•AH．
设点M的横坐标为a，则纵坐标为

1

2

a²-

3

2

a-2．
∵MN∥y轴，∴点N的横坐标为a．
设直线AE的解析式y=kx+b，把A（-1，0）、E（6，7）代入，
得

-k+b=0  6k+b=7

，解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1．
∵N在直线AE上，∴N（a，a+1）．
∴MN=a+1-（

1

2

a²-

3

2

a-2）=a+1-

1

2

a2+

3

2

a+2=-

1

2

a2+

5

2

a+3，
∴当a=

- 5 2

2×(- 1 2 )

=

5

2

时，MN有最大值，此时MN=

4×(- 1 2 )×3-( 5 2 )2

4×(- 1 2 )

=

49

8

，
∴S_△AME=

1

2

MN•AH=

1

2

×

49

8

×7=

343

16

，M（

5

2

，-

21

8

）；

（3）过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DM⊥x轴于点M．
∵A（-1，0），B（4，0），E（6，7），
∴AO=1，BO=4，FO=6，FE=7，AB=5，
∴AF=FE=7，∠EAB=45°，AE=

AF2+EF2

=7

2

．
∵D（1，-3 ），
∴DM=3，OM=1，MB=3，
∴DM=MB=3，
∴∠MBD=45°，
∴∠EAB=∠MBD，BD=

MB2+MD2

=3

2

．
过点D作∠DP₁B=∠AEB交x轴于点P₁，则△ABE∽BDP₁，
∴AE：P₁B=AB：BD，即7

2

：P₁B=5：3

2

，
∴P₁B=

42

5

，P₁O=P₁B-OB=

42

5

-4=

22

5

，
∴P₁（-

22

5

，0）；
过点D作∠DP₂B=∠ABE交x轴于点P₂，则△ABE∽△BP₂D，
∴DB：AE=P₂B：AB，即3

2

：7

2

=P₂B：5，
∴P₂B=

15

7

，P₂O=OB-P₂B=4-

15

7

=

13

7

，
∴P₂（

13

7

，0）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．