Question

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=60°，点E，点D分别在弦AB，AC，BC上，其中点D为弦BC的中点．
（1）若BC=6，求⊙O的半径；
（2）若BE=BD，CD=CF，ED=2，DF=$\frac{5}{2}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OB、OC作OD⊥BC于D，首先证明∠BOC=120°，在RT△BOD中利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，延长ED到K使得DK=ED，连接CK、FK、OD、OB，作CN⊥FK于N，FM⊥EK于M，易知△EDB≌△KDC，先证明∠FCK=∠FDK=120°，先在RT△FDM中求出FM、DM，再在RT△FMK中求出FK，最后在RT△FCN中求出CF，由此可以求出BC即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OB、OC作OD⊥BC于D．
∵∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OD⊥BC，OB=OC，BC=6
∴BD=DC=3，∠BOD=∠COD=60°，
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，OB=2OD，设OD=x，则OB=2x，
∵OB²=OD²+BD²，
∴4x²=x²+9，
∴x=$\sqrt{3}$，
∴OB=2$\sqrt{3}$，
∴⊙O半径为2$\sqrt{3}$．
（2）如图2中，延长ED到K使得DK=ED，连接CK、FK，OD、OB，作CN⊥FK于N，FM⊥EK于M．
在△EDB和△KDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DK}\\{∠EDB=∠CDK}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△KDC，
∴BE=CK，∠EBD=∠KCD，
∵∠A=60°，
∴∠B+∠ABC=120°，
∴∠FCK=120°，
∵BD=DC=BE=FC=KC，
∴∠BED=∠BDE，∠CDF=∠CFD，
∴∠FDC+∠EDB=120°，
∴∠EDF=60°，
在RT△DFM中，∵∠FMD=90°，DF=$\frac{5}{2}$，∠MFD=30°，
∴DM=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{5}{4}$，FM=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
在RT△FMK中，FK=$\sqrt{F{M}^{2}+M{K}^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，
在RT△FCN中，∵FN=NK=$\frac{\sqrt{61}}{4}$，∠FCN=60°，
∴CN=FN•tan30°=$\frac{\sqrt{183}}{12}$，CF=2CN=$\frac{\sqrt{183}}{6}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{183}}{3}$，BD=$\frac{\sqrt{183}}{6}$，
在RT△BOD中，∵∠ODB=30°，
∴OB=$\frac{BD}{cos30°}$=$\frac{\sqrt{61}}{3}$．
∴⊙O半径为$\frac{\sqrt{61}}{3}$．

点评 本题考查三角形外心、垂径定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．