Question

10．将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，展开如图（1）．

【操作观察】（1）作DF⊥AC，且DF=3，AB=8，则S_△ABD=12；
【理解运用】如图（2）若∠BAC=60°，AC=8，F是AC的中点，连接EF交AD于点M，点P是AD上的动点，连接PF和PC，试说明：PF+PC≥$4\sqrt{3}$；
【拓展提高】请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图（3），在平面直角坐标系中，A点的坐标为（1，3），B点的坐标为（3，-2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，求AP-BP的最大值，并写出P点的坐标．

Answer 1

分析 【操作观察】根据折叠的特性可知折痕AD为∠BAC的角平分线，由此可得出点D到AB和点D到AC的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
【理解运用】连接CM、PE、CE，根据三角形两边之和大于第三边得出当点P与点M重合时，PF+PC值最小，再根据折叠的性质得出AE=AC，结合∠BAC=60°即可得出△AEC为等边三角形，根据等边三角形的性质求出EF的长度即可证出结论；
【拓展提高】作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点P和P′点重合时，AP-BP的值最大，再由点B的坐标可得出点B′的坐标，结合点A、B′的坐标即可求出直线AB′的解析式，令其y=0求出x即可找出点P′的坐标，由此即可得出结论．

解答 【操作观察】解：∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴点D到AB和点D到AC的距离相等．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DF=$\frac{1}{2}$×8×3=12．
故答案为：12．
【理解运用】证明：连接CM、PE、CE，如图1所示．

∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，
∴AD为∠BAC的角平分线，AE=AC，
∴PE=PC，ME=MC，
在△PEF中，EF=ME+MF≤PE+PF=PC+PF，
∴PC+PF≥EF．
∵AE=AC，∠BAC=60°，
∴△AEC为等边三角形，
又∵AC=8，点F是AC的中点，
∴EF=AC•sin∠BAC=4$\sqrt{3}$，
∴PF+PC≥4$\sqrt{3}$．
【拓展提高】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，如图2所示．

∵点B和B′关于x轴对称，
∴PB=PB′，P′B′=P′B，
∵在△APB′中，AB′＞AP-PB′，
∴AP′-B′P′=AP′-BP′=AB′＞AP-PB′=AP-PB，
∴当点P与点P′重合时，AP-BP最大．
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∵点B（3，-2），
∴点B′（3，2），AB′=$\sqrt{（1-3）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
将点A（1，3）、B′（3，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$．
令y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$中y=0，则-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$=0，
解得：x=7，
∴点P′（7，0）．
故AP-BP的最大值为$\sqrt{5}$，此时P点的坐标为（7，0）．

点评 本题考查了折叠的性质、三角形的面积公式、等边三角形的判定及性质、三角形的三边关系以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：【操作观察】利用三角形的面积公式直接求值；【理解运用】找出当点P和点M重合时，PF+PC值最小；【拓展提高】找出当AP-BP的值最大时点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据折叠的性质找出相等的角或边是关键．