Question

【题目】如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为 （1，n），且与x轴的一个交点在点 （3，0）和 （4，0）之间．则下列结论：①abc＞0；②3a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＝4a（c﹣n），其中，正确的是_____（填上所有满足题意的序号）．

Answer 1

【答案】③④．

【解析】

根据抛物线开口方向和对称轴以及与y轴的交点情况可以对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x＝﹣1时，y＞0，于是可对③进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到＝n，则可对④进行判断．

解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a＞0，

∵抛物线交y的正半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以①错误；

∵b＝﹣2a，

∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以②错误；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．

∴当x＝﹣1时，y＞0，

即a﹣b+c＞0，所以③正确；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴＝n，

∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以④正确；

故答案为③④．