Question

农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩形的养圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长25米的墙，设计了如图一个矩形的养圈．
（1）请你求出张大伯设计的矩形羊圈的面积；
（2）请你判断他的设计方案是否使矩形羊圈的面积最大？如果不是最大，应怎样设计？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据张大伯设计的羊圈数据可以知道，矩形的两边长度，根据矩形面积公式算出此时矩形面积．
（2）先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解，便可以解决问题．

解答：解：（1）由题意可得张大伯设计羊圈的面积为：
S=25×7.5=187.5（平方米），
答：张大伯设计羊圈的面积为187.5平方米．

（2）不是最大．
设矩形的长为x，面积为y，
则y=x•

40-x

2

=-

x2

2

+20x，(0＜x≤25)
x=-

b

2a

=20在x的取值范围中
∴当x=20时y_最大=200，
此时矩形的长为20米，宽为10米．
故答案为：①张大伯设计羊圈的面积为187.5平方米；
②矩形的长为20米，宽为10米时y_最大=200．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要考查了二次函数求最值的方法．