Question

【题目】如图，直线y＝－x＋10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，P(x，y)是直线y＝－x＋10在第一象限内的一个动点．

(1)求△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，连接EF，是否存在一点P使得EF的长最小，若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) S＝40－4x(0<x<10)；(2)存在点P使得EF的长最小，最小值为5

【解析】试题分析：（1）利用三角形面积公式，得到S△OPA面积,得到S和x的关系.

(2) 四边形OEPF为矩形，OP垂直于BC时，OP最小，EF也最小.

试题解析：

解：(1)S△OPA＝OA·y＝×8×(－x＋10)＝40－4x.

∴S＝40－4x(0<x<10)．

(2)存在点P使得EF的长最小，

∵四边形OEPF为矩形，

∴EF＝OP，∴OP⊥BC时，OP最小，即EF最小．

∵B(10，0)，C(0，0)，∴OB＝OC＝10，BC＝10..

∴OP＝＝5..

∴EF的最小值为5.