Question

如图所示，⊙O的半径为2，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，且sin∠CBD=

1

4

，则OM=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  3

• C．1
• D．

  2

  3

Answer 1

分析：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90°，由于BD⊥AC，所以∠BDC=90°，由于∠AEB=∠ACB，所以∠BAE=∠CBD，故sin∠BAE=

BE

AE

=sin∠CBD=

1

4

，故可求出BE的长，再根据O是AE的中点，OM⊥AM可知OM是△ABE的中位线，故OM=

1

2

BE，故可得出结论．

解答：解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AE是⊙O的直径，⊙O的半径为2，
∴∠ABE=90°，AE=4，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CBD，
∴sin∠BAE=

BE

AE

=sin∠CBD=

1

4

=

BE

4

，解得BE=1，
∵O是AE的中点，OM⊥AM，
∴OM是△ABE的中位线，
∴OM=

1

2

BE=

1

2

．
故选A．

点评：本题考查的是圆周角定理及三角形的中位线定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．