Question

【题目】（1）如图①，圆的半径为2，圆内有一点，，若弦过点，则弦长度的最大值为______；最小值为______；

（2）如图②，将放在如图所示的平面直角坐标系中，点与原点重合，点在轴的正半轴上，，，．在轴上方是否存在点，使得，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，是李叔叔家的一块空地示意图，其中，米，米．现在他利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．若李叔叔想建的鱼塘是四边形，且满足，你认为李叔叔的想法能实现吗？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）存在，坐标为，；（3）能，这个四边形鱼塘面积最大值为（）平方米，周长的最大值为340米．

【解析】

（1）当AB为直径时，弦最长；当OP⊥AB时，AB最短，用垂径定理求解即可；

（2）以为圆心，长为半径作，过作轴的平行线交于，，点，即为所求的点；

（3）由题意得AB=100，∠ADB=60°，即点D在优弧上运动，当点D运动到优弧的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时为等边三角形，求出AD和DH长，即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．

解：（1）当为直径时，弦最长，AB=4，

如图①，当时，最短，连接，

，，

，；

故答案为：4，；

（2）存在，理由如下：

如图②，作于点，

，，，

，，

，，

以为圆心，长为半径作，

过作轴的平行线交于，，

则，且，

点，符合题意，

点的坐标为，

存在点，坐标为，；

（3）能，理由如下：如图③，

，米，米，

米．

作，使得，，以为圆心，长为半径画，

，

点在优弧上运动，

当点是优弧的中点时，四边形面积和周长取得最大值，

连接并延长交于点，

则，，

，

，

为等边三角形，

，

，

，

这个四边形鱼塘面积最大值为（平方米），

这个四边形鱼塘周长的最大值为（米）．