Question

19．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（2，0）、（0，4）．
（1）直接写出B点坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的面积分为1：3两部分，求直线CD的解析式及直线CD与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若P点是y轴上一点，且△PAC为等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可知AB=OC，则可求得B点坐标；
（2）根据直线CD把矩形OABC的面积分为1：3两部分，就可以求出D点的坐标，利用待定系数法就可以求出解析式，进一步容易求得与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）可设P点坐标为（0，t），则可分别表示出CP、AP和AC的长，由等腰三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵A（2，0），C（0，4），
∴OA=2，OC=4，
∵四边形OABC为长方形，
∴AB=OC=4，
∴B（2，4）；
（2）设AD=y，则BD=4-y，
∴S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•BC=$\frac{1}{2}$×2（4-y）=4-y，且S_{长方形OABC}=2×4=8，
∵直线CD把长方形OABC的面积分为1：3两部分，
∴S_△BCD=$\frac{1}{4}$S_{长方形OABC}=2，
∴4-y=2，解得y=2，
∴D（2，2），
设直线CD解析式为y=kx+b，则可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-x+4，

设直线CD交x轴于点E，则E（4，0），
∴OE=4，
∴S_△OCE=$\frac{1}{2}$OC•OE=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
即直线CD与坐标轴围成的三角形的面积为8；
（3）设P（0，t），
∵A（2，0），C（0，4），
∴AP=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+4}$，CP=|t-4|，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△PAC为等腰三角形，
∴有AP=CP，AP=AC和CP=AC三种情况，
①当AP=CP时，即$\sqrt{{t}^{2}+4}$=|t-4|，解得t=$\frac{3}{2}$，此时P点坐标为（0，$\frac{3}{2}$）；
②当AP=AC时，即$\sqrt{{t}^{2}+4}$=2$\sqrt{5}$，解得t=4（与C点重合，舍去）或t=-4，此时P点坐标为（0，-4）；
③当CP=AC时，即|t-4|=2$\sqrt{5}$，解得t=4+2$\sqrt{5}$或t=4-2$\sqrt{5}$，此时P点坐标为（0，4+2$\sqrt{5}$）或（0，4-2$\sqrt{5}$）；
综上可知P点坐标为（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-4）或（0，4+2$\sqrt{5}$）或（0，4-2$\sqrt{5}$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想．在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出AP、CP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．