Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx的图象开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．
（1）证明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圆C的半径为1，求该二次函数的解析式；
（3）对题（2）中所求出的二次函数，在其图象上是否存在点P（点P与点A不重合），使得△POC是以PC为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可过A作x轴的垂线，设垂足为D，由于A是抛物线的顶点，因此A点必在OB的垂直平分线上，而A点在直线y=x上，则AD=OD=BD，由此可证得△AOB是等腰直角三角形；
（2）由（1）知△AOB是等腰Rt△，则其外接圆圆心即为OB的中点，此时C、D重合，若外接圆半径为1，那么OC=BC=AC=1，由此可求得A、B的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）若以等腰三角形POC以PC为腰，那么有两种情况：
①以PC、CO为腰，那么PC=CO，则此时P与A或B重合，当P、A重合时，与题意不符；当P、B重合时，不能构成三角形POC，所以此种情况不存在；
②以OP、CP为腰，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此可确定P点的横坐标，进而可根据抛物线的解析式求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵点A在直线y=x上，
∴设点A的坐标为（m，m）
过点A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
∵点A是二次函数图象的顶点，
∴直线AD是其对称轴，
∴点D是OB的中点．
∴OD=DB=AD，
∴△AOB是等腰直角三角形．

（2）若△AOB的外接圆半径为1，则OC=BC=AC=1；
∴A（1，1），B（2，0）；
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+1，则有：
a×（2-1）²+1=0，a=-1；
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+1；

（3）存在，点P（

1

2

，

3

4

）；
此题要分两种情况：
①等腰△POC以CO、PC为腰，此时C与A、B重合，显然此种情况不符合题意；
②等腰△POC以PO、PC为腰，此时P点在CO的垂直平分线上，所以P点的横坐标为

1

2

；
代入抛物线的解析式中，得：y=-（

1

2

-1）²+1=

3

4

；
∴P点的坐标为（

1

2

，

3

4

），
综合上述两种情况可知，存在符合条件的P点，且P（

1

2

，

3

4

）．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的判定、二次函数解析式的确定以及等腰三角形的构成情况等重要知识．需注意的是（3）题在不确定等腰三角形另一腰的情况下腰分类讨论，以免漏解．