Question

9．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与一次函数y=ax-2（a＞0）的图象都经过点A、B，过点A作AC⊥y轴与点C，过点B作BD⊥x轴于点D．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若a=2，△ABE的面积为9，求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（3）在（2）的条件下，M为BE上一点，动点T从点B出发，沿BM→MA运动到点A停止，在BM上运动的速度是每秒$\sqrt{5}$个单位长度，在MA上运动的速度是每秒1个单位长度．若点T运动的时间最少，求此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先设A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），可得AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，即可求得$\frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}$，继而证得结论．
（2）先求得直线与x轴、y轴的交点，然后根据AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，求得△ABE∽△MNO，根据相似三角形的性质得出$\frac{AE}{BE}$=$\frac{OM}{ON}$=$\frac{1}{2}$，根据三角形的面积结合交点和系数的关系即可求得．
（3）延长AE到点F，使得EF=AE，连接BF，过点M作MG⊥BF于G，连接AM，如图2，则有EF=AE=3，∠MGB=∠FEB=90°，然后运用勾股定理可求出BF，易证△MGB∽△FEB，运用相似三角形的性质可得MG=$\frac{MB}{\sqrt{5}}$．从而得到T运动的时间为$\frac{MB}{\sqrt{5}}$+$\frac{MA}{1}$=MG+MA，根据两点之间线段最短可得：当A、M、G三点共线时，MG+MA最小，此时有∠AGB=90°，然后只需证到△AEM∽△BEF，运用相似三角形的性质求出EM，进而求出MD，就可得到点M的坐标．

解答 解：（1）设A（x₁，$\frac{k}{{x}_{1}}$），B（x₂，$\frac{k}{{x}_{2}}$），
根据题意AE=x₁-x₂，BE=$\frac{k}{{x}_{1}}$-$\frac{k}{{x}_{2}}$，EC=-x₂，ED=$\frac{k}{{x}_{1}}$，
∵$\frac{AE}{BE}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}-\frac{k}{{x}_{2}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，$\frac{EC}{ED}$=$\frac{-{x}_{2}}{\frac{k}{{x}_{1}}}$=-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{k}$，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EC}{ED}$，
∴$\frac{EC}{AE}$=$\frac{ED}{BE}$，
∴AB∥CD；

（2）∵a=2，
∴一次函数为y=2x-2，
∴直线y=2x-2交x轴M的坐标为（1，0），交y轴N的坐标为（0，-2），
∴OM=1，ON=2，
∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D．
∴AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，
∴△ABE∽△MNO，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{OM}{ON}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2AE，
∵AE=x₁-x₂，
∴BE=2（x₁-x₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，
得，x²-x-$\frac{k}{2}$=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{k}{2}$，
∵S_ABE=$\frac{1}{2}$AE•BE=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）•2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1-4×（-$\frac{k}{2}$）=1+2k=9，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（3）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）与一次函数y=ax-2（a＞0）的图象都经过点A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x₁=2，x₂=-1，
∴点A（2，2），（-1，-4），
∴E（-1，2），
∴BE=6，AE=3，
如图2，延长AE到点F，使得EF=AE，连接BF，过点M作MG⊥BF于G，连接AM，如图2，
则有EF=AE=3，∠MGB=∠FEB=90°．
∴BF=$\sqrt{E{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∵∠GBM=∠EBF，∠MGB=∠FEB，
∴△MGB∽△FEB，
∴$\frac{MG}{MB}$=$\frac{FE}{FB}$=$\frac{3}{3\sqrt{5}}$，
∴MG=$\frac{MB}{\sqrt{5}}$．
由题可得：T运动的时间为$\frac{MB}{\sqrt{5}}$+$\frac{MA}{1}$=MG+MA，
根据两点之间线段最短可得：当A、M、G三点共线时，MG+MA最小，
此时AG⊥BF，即∠AGB=90°，
∴∠F+∠FAG=90°．
∵∠FEB=90°，
∴∠F+∠FBE=90°，
∴∠FAG=∠FBE．
又∵∠AEM=∠BEF=90°，
∴△AEM∽△BEF，
∴$\frac{EM}{EF}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{EM}{3}$=$\frac{3}{6}$，
∴EM=$\frac{3}{2}$，
∴MD=ED-EM=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴点M的坐标为（-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识．注意把T运动的时间$\frac{MB}{\sqrt{5}}$+$\frac{MA}{1}$转化为MG+MA是解决第（3）小题的关键，有一定的难度．