Question

2．阅读材料，解决问题：
材料1：在研究数的整除时发现：能被5、25、125、625整除的数的特征是：分别看这个数的末一位、末两位、末三位、末四位即可，推广成一条结论；末n位能被5ⁿ整除的数，本身必能被5ⁿ整除，反过来，末n位不能被5ⁿ整除的数，本身也不可能被5ⁿ整除，例如判断992250能否被25、625整除时，可按下列步骤计算：
∵25=5²，50÷25=2为整数，∴992250能被25整除
∵625=5⁴，2250÷625=3.6不为整数，∴992250不能被625整除
材料2：用奇偶位差法判断一个数能否被11这个数整除时，可把这个数的奇位上的数字与偶位上的竖直分别加起来，再求它们的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，则原数能被11整除，反之则不能
（1）若$\overline{6m2}$这个三位数能被11整除，则m=8；在该三位数末尾加上和为8的两个数字，让其成为一个五位数，该五位数仍能被11整除，求这个五位数
（2）若$\overline{5abcde}$这个六位数，千位数字是个位数字的2倍，且这个数既能被125整除，又能被11整除，求这个数．

Answer 1

分析 （1）奇数位分别是6和2，偶数为是m，根据题意可知6+2-m能被11整除，且m为0至9的数，从而可求出m的值．设该五位数为$\overline{682ab}$，由题意可知a+b=8，且设b-a=11n，从而求出a、b的值．
（2）根据题意可知：b=2e，所以e只能取0或1或2或3或4，由材料一可知：$\overline{cde}$能被125整除，可知$\overline{cde}$=250或500或750，然后分情况求出a、b、c、d、e的值．

解答 解：（1）奇数位分别是6和2，偶数为是m，
∴由材料可知：6+2-m能被11整除，
∵0≤m≤9，且m是正整数，
∴m=8，
设该五位数为$\overline{682ab}$，
∴偶数位之和为：2+6+b
奇数位之和为：8+a，
∴根据题意可知：8+b-8-a=b-a能被11整除，
∴设b-a=11n，n为整数，
∵a+b=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{b-a=11n}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8-11n}{2}}\\{b=\frac{8+11n}{2}}\end{array}\right.$
∵0≤a≤9，0≤b≤9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{8-11n}{2}≤9}\\{0≤\frac{8+11n}{2}≤9}\end{array}\right.$
∴-$\frac{8}{11}$≤n≤$\frac{8}{11}$，
∴n=0，
∴a=4，b=4，
∴该数为68244，
（2）由题意可知：b=2e，
∵0≤b≤9，
∴0≤e≤4.5，
∴e=0或1或2或3或4，
∴由材料一可知：$\overline{cde}$能被125整除，
∴$\overline{cde}$=125n，n为正整数，
∴1≤n≤7，
∵e=0或1或2或3或4，
∴n=2或4或6，
∴$\overline{cde}$=250或500或750
∵偶数位之和为：5+b+d=5+2e+d
奇数位之和为：a+c+e=a+c+e，
∴|（5+2e+d）-（a+c+e）|=|5+e+d-a-c|能被11整除，
当$\overline{cde}$=250时，
∴c=2，d=5，e=0，b=0，
∴|5+e+d-a-c|=|8-a|，
设|8-a|=11m，m为正整数，
∴a=8±11m，
∵0≤a≤9，
∴-$\frac{1}{11}$≤m≤$\frac{8}{11}$或-$\frac{8}{11}$≤m≤$\frac{1}{11}$
∴m=0
∴a=8，
∴该数为580250，
同理：当$\overline{cde}$=500时，
该数为500500，
当$\overline{cde}$=750时
该数为530750，
综上所述，该数为580250或500500或530750
故答案为：（1）8；

点评 本题考查学生的推理能力，涉及不等式的解法，整除的性质，分类讨论的思想，本题综合考查学生的推理能力以及阅读能力．