精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】已知在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(2,2),对称轴是直线x=1,顶点为B.

(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)点M在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为m,联结AM,用含m的代数式表示∠AMB的余切值;
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点C在x轴上.原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.

【答案】
(1)

解:∵抛物线的对称轴为x=1,

∴x=﹣ =1,即 =1,解得b=2.

∴y=﹣x2+2x+c.

将A(2,2)代入得:﹣4+4+c=2,解得:c=2.

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2.

配方得:y=﹣(x﹣1)2+3.

∴抛物线的顶点坐标为(1,3)


(2)

解:如图所示:过点A作AC⊥BM,垂足为C,则AC=1,C(1,2).

∵M(1,m),C(1,2),

∴MC=m﹣2.

∴cot∠AMB= =m﹣2


(3)

解:∵抛物线的顶点坐标为(1,3),平移后抛物线的顶点坐标在x轴上,

∴抛物线向下平移了3个单位.

∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1,PQ=3.

∵OP=OQ,

∴点O在PQ的垂直平分线上.

又∵QP∥y轴,

∴点Q与点P关于x轴对称.

∴点Q的纵坐标为﹣

将y=﹣ 代入y=﹣x2+2x﹣1得:﹣x2+2x﹣1=﹣ ,解得:x= 或x=

∴点Q的坐标为( ,﹣ )或( ,﹣


【解析】(1)依据抛物线的对称轴方程可求得b的值,然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值;(2)过点A作AC⊥BM,垂足为C,从而可得到AC=1,MC=m﹣2,最后利用锐角三角函数的定义求解即可;(3)由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离,故此QP=3,然后由点QO=PO,QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称,可求得点Q的纵坐标,将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值,则可得到点Q的坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象的平移的相关知识,掌握平移步骤:(1)配方 y=a(x-h)2+k,确定顶点(h,k)(2)对x轴左加右减;对y轴上加下减,以及对锐角三角函数的定义的理解,了解锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某校在艺术节选拔节目过程中,从备选的“街舞”、“爵士”、“民族”、“拉丁”四种类型舞蹈中,选择一种学生最喜爱的舞蹈,为此,随机调查了本校的部分学生,并将调查结果绘制成如下统计图表(每位学生只选择一种类型),根据统计图表的信息,解答下列问题:

类型

民族

拉丁

爵士

街舞

据点百分比

a

30%

b

15%


(1)本次抽样调查的学生人数及a、b的值.
(2)将条形统计图补充完整.
(3)若该校共有1500名学生,试估计全校喜欢“拉丁舞蹈”的学生人数.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则( )

A.x﹣y2=3
B.2x﹣y2=9
C.3x﹣y2=15
D.4x﹣y2=21

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,信号塔PQ座落在坡度i=1:2的山坡上,其正前方直立着一警示牌.当太阳光线与水平线成60°角时,测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2 米,落在警示牌上的影子MN长为3米,求信号塔PQ的高.(结果不取近似值)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】我们规定:一个正n边形(n为整数,n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”,记为λn , 那么λ6=

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】阅读理解:如图1,⊙O与直线a、b都相切,不论⊙O如何转动,直线a、b之间的距离始终保持不变(等于⊙O的直径),我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”,图2是利用圆的这一特性的例子,将等直径的圆棍放在物体下面,通过圆棍滚动,用较小的力既可以推动物体前进,据说,古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的. 拓展应用:如图3所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”,如图4,夹在平行线c,d之间的莱洛三角形无论怎么滚动,平行线间的距离始终不变,若直线c,d之间的距离等于2cm,则莱洛三角形的周长为cm.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)点M、N为抛物线上的动点,过点M作MD∥y轴,交直线BC于点D,交x轴于点E.

(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)过点N作NF⊥x轴,垂足为点F,若四边形MNFE为正方形(此处限定点M在对称轴的右侧),求该正方形的面积;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,求点M的横坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y= x﹣ 与x轴交于点B1 , 以OB1为边长作等边三角形A1OB1 , 过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2 , 以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2 , 过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3 , 以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3 , …,则点A2017的横坐标是

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,某商场有一双向运行的自动扶梯,扶梯上行和下行的速度保持不变且相同,甲、乙两人同时站上了此扶梯的上行和下行端,甲站上上行扶梯的同时又以0.8m/s的速度往上跑,乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行,两人在途中相遇,甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯,同时以0.8m/s的速度往下跑,而乙到达底端后则在原地等候甲.图2中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中,离扶梯底端的路程y(m)与所用时间x(s)之间的部分函数关系,结合图象解答下列问题:
(1)求点B的坐标;
(2)求AB所在直线的函数表达式;
(3)乙到达扶梯底端后,还需等待多长时间,甲才到达扶梯底端?

查看答案和解析>>

同步练习册答案