Question

已知四边形OABC的一边OA在x轴上，O为原点，B点坐标为（4，2）．
（1）如图①，若四边形OABC的顶点C（1，4），A（5，0），直线CD平分该四边形的面积且交x轴于点D，试求出△OAC的面积和D点坐标；
（2）如图②，四边形OABC是平行四边形，顶点C在第一象限，直线y=kx-1平分该四边形的面积，若关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）△OAC的面积可以直接利用三角形的面积公式求解；过C作CE⊥x轴于点E，作BF⊥CE于点F，根据S_{四边形OABC}=S_△OCE+S_△BCF+S_梯形FEAB即可求得四边形OABC的面积，然后设D的坐标是（x，0），根据△OCD的面积等于四边形OABC的面积的一半，即可列方程求得x的值，即可得到D的坐标；
（2）直线y=kx-1平分平行四边形OABC，直线y=kx-1一定经过对角线的交点，即OB的中点，据此即可求得k的值，然后分关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k是一次函数与二次函数两种情况进行讨论即可求解．

解答：解：（1）过C作CE⊥x轴于点E，作BF⊥CE于点F．
则E的坐标是（1，0），F的坐标是（1，2）．
则S_△OCE=

1

2

×OE×CE=

1

2

×1×4=2，
S_△BCF=

1

2

BF•CF=

1

2

×3×2=3，
S_梯形FEAB=

1

2

（AE+BF）•EF=

1

2

（4+3）×2=7，
则S_{四边形OABC}=2+3+7=12，
设D的坐标是（x，0），则S_△OCD=

1

2

×4x=2x=

1

2

×12，
解得：x=3，
则D的坐标是（3，0），
S_△AOC=

1

2

×5×4=10；

（2）∵直线y=kx-1平分平行四边形OABC，
∴直线y=kx-1一定经过对角线的交点，即OB的中点，
又∵B的坐标是（4，2），即中点是（2，1），
∴把（2，1）代入y=kx-1得：2k-1=1，
解得：k=1，
则关于x的函数y=mx²-（3m+k）x+2m+k是：y=mx²-（3m+1）x+2m+1．
当函数是一次函数，即m=0时，与坐标轴只有两个交点；
当m≠0时，抛物线与坐标轴只有两个交点，则△=（3m+1）²-4m（2m+1）=0，即m²+2m+1=0，解得m=-1．
综上所述m=0或m=-1时，抛物线与坐标轴只有两个交点．

点评：本题考查了四边形的面积、方程的解以及函数与坐标轴的交点的综合应用，正确求得四边形OABC的面积是关键．